Lectura: El Orden de las Operaciones

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Utilizar el orden de las operaciones para simplificar expresiones, incluyendo aquellas con paréntesis.

·Utilizar el orden de las operaciones para simplificar expresiones con exponentes y con raíces cuadradas.

 

Introducción

Las personas necesitan un conjunto de normas comunes para realizar cálculos. Hace muchos años, los matemáticos desarrollaron un orden estándar de las operaciones que te indica qué cálculos hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para realizar cálculos, dos personas podrían obtener dos respuestas distintas para el mismo problema. Por ejemplo, 3 + 5 • 2 sólo tiene una respuesta correcta. ¿Es 13 o 16?

 

El Orden de las Operaciones de Suma, Resta, Multiplicación y División

En primer lugar, considera las expresiones que incluyen una o más de las operaciones aritméticas: Suma, resta, multiplicación y división. El orden de las operaciones requiere que toda multiplicación y división se realice en primer lugar, yendo de izquierda a derecha en la expresión. El orden en el que se calcula la multiplicación y la división está determinado por cuál de ellas aparece primero, leyendo de izquierda a derecha.

 

Después de que la multiplicación y la división se han completado, suma o resta en orden de izquierda a derecha. El orden de la suma y de la resta también está determinado por la cual aparece primero cuando se leen de izquierda a derecha.

 

A continuación, hay tres ejemplos que muestran el orden correcto de las operaciones para expresiones con suma, resta, multiplicación y/o división.

 

 

 

 

Los Símbolos de Agrupación y el Orden de las Operaciones

Los Símbolos de Agrupación como el paréntesis ( ), los corchetes [ ], las llaves y las barras de fracciones se pueden usar para controlar el orden de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Las reglas del orden de las operaciones requieren que los cálculos dentro de los símbolos de agrupación se completen primero, incluso si estás sumando o restando dentro de los símbolos de agrupación y tienes la multiplicación fuera de los símbolos de agrupación. Después del cálculo dentro de los símbolos de agrupación, divide o multiplica de izquierda a derecha y luego resta o suma de izquierda a derecha.

Cuando hay símbolos de agrupación dentro de los símbolos de agrupación, calcula desde el interior hacia el exterior. Es decir, primero comienza con la simplificación de los símbolos de agrupación más al fondo. Se muestran dos ejemplos.

 

Recuerda que los paréntesis también se pueden utilizar para mostrar una multiplicación. En el ejemplo que sigue, los paréntesis no son un símbolo de agrupamiento; son un símbolo de multiplicación. En este caso, ya que el problema sólo tiene multiplicación y división, calculamos de izquierda a derecha. Ten cuidado al determinar qué significa el paréntesis en cada problema. ¿Se trata de un símbolo de agrupación o de un signo de multiplicación?

 

 

Considera lo que sucedería si se añadieran llaves al problema anterior: 6 ÷ {(3)(2).} Los paréntesis aún significan multiplicación; las llaves adicionales son un símbolo de agrupación. Según el orden de las operaciones, calcula primero aquello que se encuentra dentro de las llaves. Ahora este problema es evaluado como 6 ÷ 6 = 1. Observa que las llaves provocaron que la respuesta cambiara de 1 a 4.

 

Simplifica 40 - (4 + 6) ÷ 2 + 3. A) 18 B) 38 C) 24 D) 32

 

El Orden de las Operaciones 1) Primero realiza todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación Incluyen paréntesis ( ), llaves { }, corchetes [ ], y barras de fracciones. 2)Multiplica y divide, de izquierda a derecha. 3)Suma y resta, de izquierda a derecha.

 

Utilizando el Orden de las Operaciones con Exponentes y Raíces Cuadradas

Hasta el momento, nuestras reglas nos permiten simplificar expresiones que tienen multiplicación, división, suma, resta o símbolos de agrupación en ellas. ¿Qué sucede si un problema tiene exponentes o raíces cuadradas en ella? Necesitamos ampliar nuestra orden de las reglas de operación para incluir a los exponentes y a las raíces cuadradas.

 

Si la expresión tiene exponentes o raíces cuadradas, éstas se llevarán a cabo después de que los paréntesis y de que otros símbolos de agrupación se hayan simplificado y antes de cualquier multiplicación, división, suma y resta que estén fuera de los paréntesis o de otros símbolos de agrupación.

 

Ten en cuenta que debes calcular a partir de operaciones más complejas a operaciones más básicas. La suma y la resta son las más elementales de las operaciones. Probablemente primero aprendiste éstas. La multiplicación y la división, que suelen considerarse como sumas y restas repetidas, son más complejas y vienen antes que la suma y la resta en el orden de las operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas son multiplicaciones y divisiones repetidas, y debido a que éstas son aún más complejas, se realizan antes de la multiplicación y de la división. A continuación se muestran algunos ejemplos que muestran el orden de las operaciones con exponentes y con raíces cuadradas.

 

 

 

 

Simplifica 77 - (1 + 4 - 2)2. A) 68 B) 28 C) 71 D) 156

 

El orden de las operaciones 1) Primero realiza todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación Incluyen paréntesis ( ), llaves { }, corchetes [ ], y barras de fracciones. 2)Evalúa los exponentes y las raíces de los números, como las raíces cuadradas. 3)Multiplica y divide, de izquierda a derecha. 4)Suma y resta, de izquierda a derecha.

 

Algunas personas usan un refrán para ayudarles a recordar el orden de las operaciones. Este refrán es llamado PEMDSR o "Ponte En Mi Difícil Situación, Reina." La primera letra de cada palabra comienza con la misma letra de una operación aritmética.

 

Ponte  Paréntesis (y otros símbolos de agrupación)

En  Exponentes

Mi Difícil  Multiplicación y División (de izquierda a derecha).

Situación Reina  Suma y Resta (de izquierda a derecha).

 

Nota: Aunque la multiplicación aparece antes que la división en el refrán, la división podría realizarse primero. Aquello que se realiza en primer lugar, entre la multiplicación y la división, está determinado por cual aparece primero cuando se leen de izquierda a derecha. Lo mismo es cierto en el caso de las sumas y restas. ¡No dejes que el refrán te confunda al respecto!

 

Resumen

El orden de las operaciones nos da una secuencia coherente para utilizar en el cálculo. Sin el orden de las operaciones, podrías tener respuestas diferentes para el mismo problema de cálculo. (Algunas de las primeras calculadoras, y algunas muy baratas, no utilizan el orden de las operaciones. Para poder utilizar estas calculadoras, el usuario tiene que introducir los números en el orden correcto).

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.