Lectura: Propiedades Asociativas, Conmutativas y Distributivas

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Identificar y utilizar las propiedades conmutativas para la suma y para la multiplicación.

·Identificar y utilizar las propiedades asociativas para la suma y para la multiplicación.

·Identificar y utilizar la propiedad distributiva.

 

Introducción

Hay muchas veces en el álgebra en las que necesitas simplificar una expresión. Las propiedades de los números reales, proporcionan herramientas que te ayudan a tomar una expresión complicada y simplificarla.

 

Las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas del álgebra son las propiedades que se utilizan con mayor frecuencia para simplificar las expresiones algebraicas. Querrás tener una buena comprensión de estas propiedades para facilitar problemas en el álgebra.

 

Las Propiedades Conmutativas de la Suma y de la Multiplicación

Puedes encontrar rutinas diarias en las que el orden de las tareas puede cambiarse sin modificar el resultado. Por ejemplo, piensa en verter una taza de café por la mañana. Terminarías con la misma deliciosa taza de café si añadieras los ingredientes de cualquiera de las siguientes formas:

·Verter 12 onzas de café en la taza, luego agregar un chorrito de leche.

·Agregar un chorrito de leche a la taza, luego añadir 12 onzas de café.

 

El orden en que se agreguen los ingredientes no importa. De la misma manera, no importa si te pones primero tu zapato izquierdo o el derecho antes de salir a trabajar. Mientras estés usando ambos zapatos cuando salgas de tu casa, ¡vas por buen camino!

 

En matemáticas, decimos que estas situaciones son conmutativas--el resultado será el mismo (el café es preparado a tu gusto; sales de casa con ambos zapatos puestos) sin importar el orden en que se realicen las tareas.

 

Asimismo, la propiedad conmutativa de la suma establece que cuando se suman dos números, su orden puede ser modificado sin que ello afecte la suma. Por ejemplo, 30 + 25 obtiene la misma suma que 25 + 30.

30 + 25 = 55

25 + 30 = 55

La multiplicación se comporta de manera similar. La propiedad conmutativa de la multiplicación afirma que cuando se multiplican dos números, se puede cambiar su orden sin afectar el producto. Por ejemplo, 7 · 12 tiene el mismo producto que 12 · 7.

7 · 12 = 84

12 · 7 = 84

Estas propiedades aplican para todos los números reales. Echemos un vistazo a algunos ejemplos de suma.

 

 

La Propiedad Conmutativa de la Suma

Para cualquiera de los números reales a y b, a + b = b + a.

 

La resta no es conmutativa. Por ejemplo, 4 - 7 no obtiene la misma diferencia que 7 - 4. El signo - aquí significa resta.

Sin embargo, recuerda que 4 - 7 puede reescribirse como 4 + (-7), ya que la resta de un número es lo mismo que la suma de su opuesto. Al aplicar la propiedad conmutativa para la suma aquí, puedes decir que 4 + (-7) es lo mismo que (-7) + 4. Observa cómo esta expresión es muy diferente a 7 - 4.

 

Ahora observa algunos ejemplos de multiplicación.

 

 

La propiedad Conmutativa de la Multiplicación

Para cualquiera de los números reales a y b,  a · b = b · a.

 

El orden no importa mientras las dos cantidades se multipliquen juntas. Esta propiedad funciona para números reales y para variables que representen números reales.

 

Tal como la resta no es conmutativa, tampoco la división es conmutativa. 4 ÷ 2 no tienen el mismo cociente que 2 ÷ 4.

 

 

Reescribe 52 • y de una manera distinta utilizando la propiedad conmutativa de la multiplicación. Observa que y representa un número real. A) 5y • 2 B) 52y C) 26 • 2 • y D) y • 52

 

Las Propiedades Asociativas de la Suma y de la Multiplicación

La propiedad asociativa de la suma establece que los números en una expresión de suma pueden ser agrupados de diferentes formas sin cambiar la suma. Puedes recordar el significado de la propiedad asociativa al recordar que cuando te asocias con miembros de la familia, con amigos y con compañeros de trabajo, terminas formando grupos con ellos.

 

A continuación, se presentan dos formas de simplificar el mismo problema de suma. En el primer ejemplo, el 4 se agrupa con el 5 y 4 + 5 = 9.

4 + 5 + 6 = 9 + 6 = 15

 

Aquí se trabaja el mismo problema al agrupar el 5 y el 6 primero, 5 + 6 = 11.

4 + 5 + 6 = 4 + 11 = 15

 

En ambos casos, la suma es la misma. Esto ilustra que cambiar la agrupación de números al sumar da como resultado la misma suma.

Los matemáticos suelen utilizar un paréntesis para indicar qué operación debe realizarse primero en una ecuación algebraica. Los problemas de suma de arriba están reescritos aquí, esta vez usando paréntesis para indicar la agrupación asociativa.

 

(4 + 5) + 6 = 9 + 6 = 15

4 + (5 + 6) = 4 + 11 = 15

 

Está claro que el paréntesis no afecta la suma; la suma es la misma independientemente del lugar donde se coloquen los paréntesis.

 

La Propiedad Asociativa de la Suma

Para cualquiera de los números reales a, b y c, (a + b) + c = a + (b + c).

 

El ejemplo siguiente muestra cómo puede utilizarse la propiedad asociativa para simplificar expresiones con números reales.

 

 

La multiplicación posee una propiedad asociativa que funciona exactamente igual que la de la suma. La propiedad asociativa de la multiplicación afirma que los números en una expresión de multiplicación pueden ser agrupados utilizando el paréntesis. Por ejemplo, la siguiente expresión puede reescribirse de dos formas distintas utilizando la propiedad asociativa.

Expresión original: 

Expresión 1: 

Expresión 2: 

Los paréntesis no afectan el producto, el producto es el mismo independientemente de dónde se encuentren los paréntesis.

 

La Propiedad Asociativa de la Multiplicación

Para cualquiera de los números reales a, b y c, (a • b) • c = a • (b • c).

 

Reescribe  usando sólo la propiedad asociativa. A)  B)  C)  D)

 

Utilizar las Propiedades Asociativas y Conmutativas

Encontrarás que las propiedades asociativas y conmutativas son herramientas útiles en el álgebra, especialmente cuando evalúas expresiones. Al utilizar las propiedades asociativas y conmutativas, puedes reordenar los términos de una expresión para que los números sean compatibles uno junto a otro y se agrupen. Los números compatibles son números fáciles de calcular, como 5 + 5, o 3 • 10, o 12 - 2, o 100 ÷ 20. (El criterio principal para los números compatibles es que "funcionen bien" juntos.) Los dos ejemplos siguientes muestran cómo se hace esto.

 

 

 

Simplifica la expresión: -5 + 25 - 15 + 2 + 8 A) 5 B) 15 C) 30 D) 55

 

La Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva de la multiplicación es una propiedad muy útil que permite reescribir las expresiones en las que estás multiplicando un número por una suma o resta. La propiedad establece que el producto de una suma o de una resta, tal como 6(5 - 2), es igual a la suma o a la resta de los productos, en este caso, 6(5) - 6(2).

                                    6(5 - 2) = 6(3) = 18

                                    6(5) - 6(2) = 30 - 12 = 18

 

La propiedad distributiva de la multiplicación se puede utilizar cuando multiplicas un número por una suma. Por ejemplo, supongamos que deseas multiplicar 3 por la suma de 10 + 2.

3(10+ 2) = ?

 

De acuerdo a esta propiedad, puedes sumar los números 10 y 2 primero y, a continuación, multiplicar por 3, como se muestra aquí: 3(10 + 2) = 3(12) = 36. Alternativamente, primero, puedes multiplicar cada suma por 3 (a esto se le llama distribuir el 3) y, a continuación, puedes sumar los productos. Este proceso se muestra aquí.

3 (10 + 2) = 3(12) = 36

3(10) + 3(2) = 30 + 6 = 36

 

Los productos son los mismos.

Debido a que la multiplicación es conmutativa, puedes usar la propiedad distributiva independientemente del orden de los factores.

Las Propiedades Distributivas

Para cualquiera de los números reales a, b y c:

La multiplicación se distribuye en la suma:       a(b + c) = ab + ac

La multiplicación se distribuye en la resta:        a(b - c) = ab - ac

 

Reescribe la expresión 10(9 - 6) utilizando la propiedad distributiva. A), 10(6) - 10(9) B) 10(3) C) 10(6 - 9). D) 10(9), 10(6)

 

Distribuir con Variables

Mientras las variables representan números reales, la propiedad distributiva puede utilizarse con variables. La propiedad distributiva es importante en el álgebra, y a menudo verás expresiones como esta: 3(x - 5). Si te preguntan si deseas ampliar esta expresión, puedes aplicar la propiedad distributiva, tal como lo harías si estuvieras trabajando con números enteros.

3 (x - 5) = 3(x) - 3(5) = 3x - 15

 

Recuerda, cuando multiplicas un número y una variable, puedes simplemente escribirlos uno al lado del otro para expresar la cantidad a multiplicar. Así, la expresión "tres veces la variable x" puede ser escrita de varias formas: 3x, 3(x) o 3 · x.

 

 

 

En el ejemplo anterior, ¿qué piensas que sucedería si sustituyes x = 2 antes de distribuir el 5? ¿Obtendrías la misma respuesta de 5? El ejemplo siguiente muestra lo qué sucedería.

 

 

Combinar Términos Comunes

La propiedad distributiva también puede ayudarte a entender una idea fundamental del álgebra: que las cantidades como 3x y 12x se pueden sumar y restar de la misma forma que los números 3 y 12. Veamos un ejemplo y veamos cómo se puede hacer esto.

 

 

¿Puedes ver lo que sucedió? Al pensar en la x como una cantidad distribuida, puedes ver que 3x + 12x = 15x. (Si no estás seguro acerca de esto, prueba sustituir la x por cualquier número en esta expresión... ¡verás que es cierto!).

 

Los grupos de términos que constan de un coeficiente multiplicado por la misma variable se denominan "términos". La tabla siguiente muestra algunos de los distintos grupos de términos comunes:

 

 

Siempre que veas términos comunes en una expresión algebraica o en una ecuación, puedes sumarlos o restarlos como si se tratara de sumar o de restar números reales. Así, por ejemplo,

10y + 12y = 22y, y 8x - 3x - 2x = 3x.

 

Ten cuidado de no combinar términos que no tengan la misma variable: ¡4x + 2y no es equivalente a 6xy!

 

 

Simplifica: 12x - x + 2x - 8x. A) 23x B) 5 C) 5x D) x

 

Resumen

Las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas te ayudarán a reescribir una expresión algebraica complicada en una que sea más fácil de resolver. Cuando reescribes una expresión por medio de una propiedad conmutativa, cambias el orden de los números que se suman o se multiplican. Cuando reescribes una expresión utilizando una propiedad asociativa, agrupas un par diferente de números utilizando un paréntesis. Puedes utilizar las propiedades asociativas y conmutativas para reagrupar y reordenar cualquier número en una expresión siempre y cuando la expresión esté compuesta enteramente de sumas o de factores (y no de una combinación de ellas). La propiedad distributiva puede ser utilizada para reescribir las expresiones para una variedad de propósitos. Cuando estás multiplicando un número por una suma, puedes sumar y, a continuación, multiplicar. También puedes multiplicar cada suma primero y luego sumar los productos. El mismo principio aplica si multiplicas un número por una resta.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.