Lectura: Resolver Ecuaciones de Un Paso

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad de la igualdad de la suma.

·Resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad de la igualdad de la multiplicación.

 

Introducción

Escribir y resolver ecuaciones es una parte importante de las matemáticas. Las ecuaciones algebraicas te pueden ayudar a ejemplificar situaciones y a resolver problemas en los que existen cantidades desconocidas. El tipo más simple de ecuación algebraica es una ecuación lineal que tiene sólo una variable.

 

Expresiones y Ecuaciones

Una ecuación es una afirmación matemática acerca de que dos expresiones son iguales. Una ecuación siempre contendrá un signo igual con una expresión en cada lado. Las expresiones se componen de términos, y el número de términos de cada expresión en una ecuación puede variar.

Las ecuaciones algebraicas contienen variables, símbolos que representan una cantidad desconocida. Las variables a menudo son representadas con letras, como x, y o z. A veces, una variable se multiplica por un número. Este número es llamado coeficiente de la variable. Por ejemplo, el coeficiente de 3x es 3.

 

Utilizar la Propiedad de Igualdad de la Suma

Una propiedad importante de las ecuaciones es aquella que afirma que puedes sumar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación y aún conservar una ecuación equivalente. A veces las personas se refieren a ello como mantener la ecuación "equilibrada". Si piensas de una ecuación como una balanza, las cantidades en cada lado de la ecuación son iguales, o equilibradas.

 

Veamos una simple ecuación numérica, 3 + 7 =10, para explorar la idea de una ecuación equilibrada.

 

 

Las expresiones en cada lado del signo igual son iguales, de modo que puedes sumar el mismo valor a cada lado y conservar la igualdad. Veamos qué sucede cuando se suma 5 a cada lado.

 

3 + 7 + 5 = 10 + 5

 

Debido a que cada expresión es igual a 15, puedes observar que sumar 5 a cada lado de la ecuación original se tradujo en una ecuación verdadera. La ecuación aún está "equilibrada".

 

Por otro lado, veamos qué pasaría si has sumado 5 sólo a una parte de la ecuación.

 

3 + 7 = 10.

3 + 7 + 5 = 10.

15 ≠ 10

 

Sumar 5 sólo a una parte de la ecuación se tradujo en una ecuación que es falsa. ¡La ecuación ya no está "equilibrada", y ya no es una ecuación verdadera!

 

Propiedad de Igualdad de la Suma   Para todos los números reales a, b, y c: Si a = b, entonces a + c = b + c. Si dos expresiones son iguales entre sí, y sumas el mismo valor a ambos lados de la ecuación, la ecuación permanecerá igual.

 

Cuando resuelves una ecuación, encuentras el valor de la variable que hace a la ecuación verdadera. A fin de resolver la ecuación, puedes aislar la variable. Aislar la variable significa reescribir una ecuación equivalente en la que la variable está en un lado de la ecuación y todo lo demás está en el otro lado de la ecuación.

 

Cuando la ecuación involucre suma o resta, utiliza la operación inversa para "deshacer" la operación, con el fin de aislar la variable. Para la suma y la resta, tu objetivo es cambiar cualquier valor que se esté sumando o restando a 0, la identidad aditiva.

 

 

Debido a que la resta puede ser escrita como una suma (sumando lo opuesto), la propiedad de la igualdad de la suma puede ser utilizada para la resta. De la misma manera que puedes sumar el mismo valor en cada lado de una ecuación sin cambiar el significado de la ecuación, puedes restar el mismo valor de cada lado de una ecuación.

 

 

 

Los ejemplos anteriores a veces son llamados ecuaciones un paso porque requieren sólo de un paso para ser resueltas. En estos ejemplos, sumas o restas una constante de ambos lados de la ecuación para aislar la variable y resolver la ecuación.

 

¿Qué harías para aislar la variable en la ecuación siguiente, utilizando sólo un paso? x + 10 = 65 A) Sumar 10 a ambos lados de la ecuación. B) Restar 10 sólo del lado izquierdo de la ecuación. C) Sumar 65 a ambos lados de la ecuación. D) Restar 10 a ambos lados de la ecuación. Mostrar/Ocultar la Respuesta

 

Pregunta Avanzada ¿Qué harías para aislar la variable en la siguiente ecuación utilizando sólo un paso? A) Restar  a ambos lados de la ecuación. B) Sumar  a ambos lados de la ecuación. C) Restar  a ambos lados de la ecuación. D) Sumar  a ambos lados de la ecuación.

 

Con cualquier ecuación, puedes comprobar su solución sustituyendo el valor de la variable en la ecuación original. En otras palabras, evalúas la ecuación original utilizando su solución. Si obtienes una expresión verdadera, entonces tu solución es correcta.

 

 

Siempre es una buena idea comprobar tu respuesta, aunque no se requiera.

 

Utilizar la Propiedad de Igualdad de la Multiplicación

Así como puedes sumar o restar la misma cantidad exacta en ambos lados de una ecuación, también puedes multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad para escribir una ecuación equivalente. Veamos una ecuación numérica, 5 • 3 = 15, para empezar. Si multiplicas ambos lados de esta ecuación por 2, todavía tendrás una ecuación verdadera.

 

      5 • 3 = 15

5 • 3 • 2 = 15 • 2

          30 = 30

 

Esta característica de las ecuaciones es generalizada en la propiedad de igualdad de la multiplicación.

 

Propiedad de Igualdad de la Multiplicación   Para todos los números reales a, b, y c: Si a = b, entonces a • c = b • c (o ab = ac). Si dos expresiones son iguales entre sí y multiplicas ambos lados por el mismo número, las expresiones resultantes también serán equivalentes.

 

Cuando la ecuación implica multiplicación o división, puedes "deshacer" estas operaciones mediante la operación inversa para aislar la variable. Cuando la operación es una multiplicación o división, tu objetivo es cambiar el coeficiente a 1, la identidad multiplicativa.

 

 

También puedes multiplicar el coeficiente por el inverso multiplicativo (reciproco) a fin de cambiar el coeficiente a 1.

 

 

 

 

Resuelve para x: 5x = -100 A) x = 20 B) x = -20 C) x = 500 D) x = -500

 

Pregunta Avanzada Resuelve para y: 4.2 = 7y A) y = 0.6 B) y = 29.4 C) y = 1.67 D) y = -2.8

 

Resumen

Las ecuaciones matemáticas son afirmaciones que combinan dos expresiones de igual valor. Una ecuación algebraica puede ser resuelta al aislar la variable en un lado de la ecuación usando las propiedades de igualdad. Para comprobar la solución de una ecuación algebraica, sustituye el valor de la variable en la ecuación original.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.