Lectura: Resolver Desigualdades de Un Paso

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Representar desigualdades en una línea de números.

·Utilizar la propiedad de desigualdad de la suma para aislar variables y resolver las desigualdades algebraicas, y expresar sus soluciones de forma gráfica.

·Utilizar la propiedad de desigualdad de la multiplicación para aislar las variables y resolver las desigualdades algebraicas, y expresar sus soluciones de forma gráfica.

 

Introducción

A veces hay un intervalo de valores posibles para describir una situación. Cuando ves un letrero que dice "Límite de velocidad 25", sabes que eso no significa que tienes que ir exactamente a una velocidad de 25 millas por hora (mph). Esta señal significa que no debes ir a más de 25 mph, pero hay muchas velocidades permitidas a las que podrías conducir, como 22 mph, 24.5 mph o 19 mph. En una situación como esta, la cual tiene más de un valor aceptable, se utilizan desigualdades en lugar de ecuaciones para representar la situación.

 

¿Qué es una desigualdad?

La desigualdad es una instrucción matemática que compara dos expresiones con un signo de desigualdad. En una desigualdad, una expresión de la desigualdad puede ser mayor o menor que la otra expresión. Se utilizan símbolos especiales en estas declaraciones. El cuadro siguiente muestra el símbolo, su significado y un ejemplo para cada signo de desigualdad.

 

Signos de Desigualdad x y       x  no es igual a y. Ejemplo: El número de días en una semana no es igual a 9. x > y       x es mayor que y. Por ejemplo:  6 > 3 Ejemplo: El número de días en un mes es mayor que el número de días en una semana. x < y      x es menor que y. Ejemplo: El número de días en una semana es menor que el número de días en un año.     x es mayor o igual que y. Ejemplo: 31 es mayor o igual que el número de días en un mes.    x es menor o igual a y. Ejemplo:  La velocidad de un automóvil que va a una velocidad legal en una zona de 25 mph es menor o igual a 25 mph.

 

Lo importante de las desigualdades es que puede haber varias soluciones. Por ejemplo, la desigualdad "31 ≥ al número de días en un mes" es una afirmación verdadera para cada mes del año--ningún mes tiene más de 31 días. Es cierto que para enero, que tiene 31 días (31 ≥ 31); septiembre, que tiene 30 días (31 ≥ 30); y febrero, que tiene 28 o 29 días dependiendo del año (31 ≥ 28 y 31 ≥ 29).

La desigualdad x > y también se puede escribir como y < x. Los lados de cualquier desigualdad pueden cambiarse mientras el símbolo de desigualdad entre ellos también se invierta.

 

Representar Desigualdades en una Línea de Números

Las desigualdades se pueden representar gráficamente en una línea de números. A continuación, se muestran tres ejemplos de desigualdades y sus gráficos.

 

X <2

-X ≤ 4

X³-3

 

Cada uno de estos gráficos comienza con un círculo--ya sea un círculo abierto o cerrado (sombreado). Este punto a menudo es llamado el punto final de la solución. Un círculo cerrado, o sombreado, es utilizado para representar las desigualdades mayor o igual que () o menor o igual que (). El punto es parte de la solución. Un círculo abierto se utiliza para mayor que (>) o menor que (<). El punto no es parte de la solución.

El gráfico a continuación, se extiende interminablemente hacia una dirección. Esto se indica mediante una línea con una flecha al final. Por ejemplo, observa que en el gráfico de  arriba indicado, el punto final es de -3, representado con un círculo cerrado, ya que la desigualdad es mayor o igual que -3. Se dibuja la línea azul a la derecha en el número de línea porque los valores de esta zona son superiores a -3. La flecha al final indica que las soluciones continúan infinitamente.

 

Resolver Desigualdades Utilizando Propiedades de Suma y Resta

Puedes resolver la mayor parte de las desigualdades utilizando los mismos métodos para resolver ecuaciones. Se pueden utilizar operaciones inversas para resolver desigualdades. Esto es debido a que al sumar o restar el mismo valor en ambos lados de la desigualdad, has conservado la desigualdad. Estas propiedades se describen en el cuadro azul siguiente.

 

Propiedades de Desigualdad de la Suma y Resta Si a > b, entonces a + c > b + c Si a > b, entonces a – c > b – c

 

Dado que las desigualdades tienen varias soluciones posibles, representar gráficamente las soluciones proporciona una ayuda visual de la situación. El ejemplo siguiente muestra los pasos para resolver y graficar una desigualdad.

 

 

El gráfico de la desigualdad x < 2 se muestra a continuación.

 

Justo como puedes comprobar la solución de una ecuación, puedes comprobar la solución de una desigualdad. En primer lugar, verifica el punto final, sustituyéndolo en la ecuación relacionada. A continuación, comprueba si la desigualdad es correcta sustituyendo cualquier otra solución para ver si se trata de una de las soluciones. Dado a que hay varias soluciones, es una buena práctica comprobar más de una de las posibles soluciones. Esto también te puede ayudar a asegurarte de que el gráfico sea correcto.

 

El siguiente ejemplo muestra cómo puedes comprobar que x < 2 es la solución de x + 3 < 5.

 

 

Los siguientes ejemplos muestran otros problemas de desigualdades. También se muestra el gráfico de la solución de la desigualdad. Recuerda comprobar la solución. ¡Este es un buen hábito a adoptar!

 

 

 

El gráfico de esta solución se muestra a continuación. Observa que se utiliza un círculo cerrado porque la desigualdad es "menor o igual que" (). La flecha azul se dibuja hacia la izquierda del punto -2 porque estos son los valores que son menores que -2.

 

 

 

 

El gráfico de esta solución se muestra a continuación. Observa que se utiliza un círculo abierto porque la desigualdad es "mayor que" (>). La flecha se dibuja hacia la derecha del 0 porque estos son los valores que son mayores que 0.

 

 

 

Pregunta Avanzada Resuelve para x:  A) x≤ 0 B) x> 35 C) x≤ 7 D) x≥ 5

 

Resolver Desigualdades que Involucran Multiplicación

Resolver una desigualdad con una variable que tiene un coeficiente distinto de 1 generalmente implica una multiplicación o división. Los pasos son como resolver ecuaciones de multiplicación o división de un paso, salvo por el signo de desigualdad. Veamos qué sucede con la desigualdad al multiplicar o dividir cada lado por el mismo número.

 

Comencemos con la afirmación verdadera:	10 > 5		Volvamos a intentarlo, comenzando con la misma afirmación verdadera:	10 > 5
A continuación, multiplica ambos lados por el mismo número positivo:	10 • 2 > 5 • 2		Esta vez, multiplica ambos lados por el mismo número negativo:	10 • -2 > 5 • -2
20 es mayor que 10, así que aún tienes una desigualdad verdadera:	20 > 10		¡Espera un minuto! -20 no es mayor que10, así que tienes una afirmación falsa.	-20 > -10
Cuando multipliques por un número positivo, ¡deja el signo de desigualdad como está!			Debes "invertir" el signo de desigualdad para volver verdadera la afirmación:	-20 < -10

 

Cuando multiplicas por un número negativo, "revierte" el signo de desigualdad.

Siempre que multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe invertirse el signo de desigualdad para mantener verdadera una afirmación.

 

Estas reglas se resumen en el cuadro siguiente.

 

Propiedades de Desigualdad de la Multiplicación y de la División Si a > b, entonces ac > bc, si c > 0 Si a > b, entonces ac < bc, si c < 0 Si a > b, entonces , si c > 0 Si a > b, entonces , si c < 0

 

Ten en cuenta que sólo puedes cambiar el signo cuando estás multiplicando y dividiendo por un número negativo. Si sumas o restas un número negativo, la desigualdad se queda igual.

 

 

 

El gráfico de esta solución se muestra a continuación.

 

 

No es necesario hacer ningún cambio en el signo de la desigualdad porque ambos lados de la desigualdad se dividieron entre un 3 positivo. En el siguiente ejemplo, hay una división entre un número negativo, ¡por lo que hay un paso adicional en la solución!

 

 

Debido a que ambos lados de la desigualdad se dividieron entre un número negativo, -2, el símbolo de desigualdad fue cambiado de > a <. El gráfico de esta solución se muestra a continuación.

 

 

Resuelve para y: -10y ≥ 150 A) y = -15 B) y ≥ -15 C) y ≤ -15 D) y ≥ 15

 

Pregunta Avanzada Resuelve para a :  A)  B)  C)  D)

 

Resumen

Resolver desigualdades es muy similar a resolver ecuaciones, excepto que aquí tienes que revertir el símbolo de desigualdad cuando multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo. Puesto que las desigualdades pueden tener múltiples soluciones, se acostumbra representar la solución de una desigualdad gráficamente, así como algebraicamente. Debido a que suele haber más de una solución para una desigualdad, cuando compruebes la respuesta debes comprobar el punto final y otro valor para comprobar la dirección de la desigualdad.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.