Lectura: El Plano de Coordenadas

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Acotar pares ordenados en un plano de coordenadas.

·Dado un par ordenado, determinar su cuadrante.

 

Introducción

El plano de coordenadas fue desarrollado hace siglos y fue perfeccionado por el matemático francés René Descartes. En su honor, el sistema a veces es llamado sistema de coordenadas cartesianas. El plano de coordenadas puede utilizarse para trazar puntos y líneas en un gráfico. Este sistema nos permite describir relaciones algebraicas en un sentido visual y también nos ayuda a crear e interpretar conceptos algebraicos.

 

Familiarización con el Plano de Coordenadas

Es probable que hayas usado un plano de coordenadas antes. Por ejemplo, ¿has utilizado alguna vez una superposición de cuadrícula para trazar la posición de un objeto? (Esto se hace a menudo con los mapas de carreteras, también).

 

 

Este "mapa" utiliza una cuadrícula vertical y horizontal para transmitir información acerca de la ubicación de un objeto. Observa que las letras A-F están expresados en la parte superior, y los números 1-6 están expresados en el borde izquierdo. La ubicación general de cualquier elemento en este mapa se puede encontrar utilizando la letra y el número de su cuadrado en la cuadrícula. Por ejemplo, puedes encontrar el elemento que existe en el cuadro "4F" moviendo el dedo horizontalmente hacia la letra F y luego hacia abajo, de modo que te alinees con el 4. Encontrarás que un disco azul se encuentra en esta ubicación en el mapa.

 

El plano de coordenadas tiene elementos similares para la cuadrícula mostrada anteriormente. Éste consta de un eje horizontal y de un eje vertical, número de líneas que se cruzan en ángulos rectos. (Son perpendiculares entre sí).

 

 

Al eje horizontal en el plano de coordenadas se le denomina eje x. Al eje vertical se le denomina eje y. El punto en el que se cruzan los dos ejes se denomina origen. El origen se ubica en 0 en el eje x y 0 en el eje y.

 

La intersección de los ejes x e y dividen el plano de coordenadas en cuatro secciones. A estas cuatro secciones se les denomina cuadrantes. Los cuadrantes se nombran usando los números romanos I, II, III y IV, empezando por el cuadrante superior derecho y moviéndonos en sentido contrario de las manecillas del reloj.

 

Las ubicaciones en el plano de coordenadas son descritas como pares ordenados. Un par ordenado te indica la ubicación de un punto al relacionar la ubicación del punto a lo largo del eje x (el primer valor del par ordenado) y a lo largo del eje y (el segundo valor del par ordenado).

 

En un par ordenado, como por ejemplo (x, y), al primer valor se le denomina coordenada x y al segundo valor coordenada y. Observa que las coordenadas x aparecen antes que las coordenadas y. Debido a que el origen tiene una coordenada x de 0 y una coordenada y de 0, su par ordenado se escribe (0, 0).

 

Considera el siguiente punto.

 

 

Para identificar la ubicación de este punto, comienza en el origen (0, 0) y desplázate hacia la derecha a lo largo del eje x hasta que te ubiques bajo el punto. Observa la etiqueta del eje x. El 4 indica que, desde el origen, te has desplazado cuatro unidades hacia la derecha a lo largo del eje x. Esta es la coordenada x, el primer número del par ordenado.

 

A partir del 4 en el eje x sube hacia el punto y observa el número con el que éste se alinea en el eje y. El 3 indica que, después de abandonar el eje x, te desplazaste 3 unidades en dirección vertical, la dirección del eje y. Este número es la coordenada y, el segundo número del par ordenado. Con una coordenada x de 4 y una coordenada de y de 3, obtienes el par ordenado (4, 3).

 

Veamos otro ejemplo.

 

 

Trazar Puntos en el Plano de Coordenadas

Ahora que sabes cómo usar los ejes x e y, puedes trazar un par ordenado. Sólo recuerda, ambos procesos inician en el origen--¡el principio! El siguiente ejemplo muestra cómo representar el par ordenado (1, 3).

 

 

En el ejemplo anterior, tanto las coordenadas x e y fueron positivas. Cuando una (o ambas) coordenadas de un par ordenado son negativas, te tendrás que mover en dirección negativa a lo largo de uno o de ambos ejes. Considera el siguiente ejemplo en el que ambas coordenadas son negativas.

 

 

Los pasos para trazar un punto se resumen a continuación.

 

Pasos para Acotar un Par Ordenado (x, y) en el Plano de Coordenadas O Determina la coordenada x. Comenzando en el origen, desplázate horizontalmente, en dirección del eje x, a la distancia determinada por la coordenada x. Si la coordenada x es positiva, desplázate a la derecha; si la coordenada x es negativa, desplázate hacia la izquierda. O Determina la coordenada y. Comenzando en la coordenada x, desplázate verticalmente, en la dirección del eje y, a la distancia determinada por la coordenada y. Si la coordenada y es positiva, desplázate hacia arriba; si la coordenada y es negativa, desplázate hacia abajo. O Dibuja un punto en la ubicación final. Etiqueta el punto con el par ordenado.

 

¿Qué punto representa el par ordenado (-2, 3)?  El Punto B

 

Los Cuatro Cuadrantes

Los pares ordenados dentro de cualquier cuadrante comparten ciertas características. Observa cada cuadrante del siguiente gráfico. ¿Qué notas acerca de los signos de las coordenadas x e y de los puntos en cada cuadrante?

 

 

Dentro de cada cuadrante, los signos de las coordenadas x, y de las coordenadas y de cada par ordenado son los mismos. También siguen un patrón, el cual se resume en la siguiente tabla.

 

 

Una vez que sabes acerca de los cuadrantes en el plano de coordenadas, puedes determinar el cuadrante de un par ordenado incluso sin su representación gráfica al mirar la tabla de arriba. Esta es otra manera de pensar acerca de ello.

 

 

El siguiente ejemplo explica cómo determinar el cuadrante de un punto simplemente al pensar sobre los signos de sus coordenadas. Pensar en el cuadrante antes de trazar un punto puede ayudarte a evitar un error. Este también es un conocimiento útil para comprobar que has acotado un punto correctamente.

 

 

 

¿Qué sucede si un par ordenado tiene una coordenada de x o de y de cero? El siguiente ejemplo muestra el gráfico del par ordenado (0, 4).

 

 

Un punto situado en uno de los ejes no se considera dentro de un cuadrante. Se ubica simplemente en uno de los ejes. Siempre que la coordenada x sea 0, el punto se sitúa sobre el eje y. Del mismo modo, cualquier punto que tenga una coordenada y de 0 estará situado sobre el eje x.

 

¿Cuál de las siguientes representaciones describe mejor la ubicación del punto (8, 0)? A) Cuadrante I B) Se encuentra en el eje x C) Se encuentra en el eje y D) El plano de coordenadas

 

Resumen

El plano de coordenadas es un sistema utilizado para representar gráficamente, y para describir puntos y líneas. El plano de coordenadas se compone de un eje horizontal (x) y de un eje vertical (y). La intersección de estas líneas crea el origen, el cual es el punto (0, 0). El plano de coordenadas se divide en cuatro cuadrantes. Juntas, estas características del sistema de coordenadas permiten la representación gráfica y la comunicación acerca de puntos, de líneas y de otros conceptos algebraicos.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.