Lectura: Graficar Ecuaciones Lineales

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Usar pares de coordenadas para graficar relaciones lineales.

·Graficar una ecuación lineal usando intersecciones de x e y.

·Determinar si un par ordenado es una solución de una ecuación.

·Resolver aplicaciones de problemas que impliquen gráficas de ecuaciones lineales.

 

Introducción

Graficar pares ordenados se tata sólo del principio de la historia. Una vez que sabes cómo colocar puntos en una cuadrícula, puedes usarlos para darle un sentido a todo tipo de relaciones matemáticas.

 

Puedes utilizar un plano de coordenadas para acotar puntos y para asignar diversas relaciones, tales como la relación entre la distancia del objeto y el tiempo transcurrido. Muchas relaciones matemáticas son relaciones lineales. Veamos qué es una relación lineal.

 

Relaciones Lineales

Una relación lineal es una relación entre variables de tal forma que cuando se trazan sobre un plano de coordenadas, los puntos se encuentran en una línea. Empecemos con una serie de puntos en el Cuadrante I del plano de coordenadas.

 

Observa los cinco pares ordenados (y sus coordenadas x e y) a continuación. ¿Ves algún patrón para la ubicación de los puntos? Si esta tendencia continúa, ¿qué otros puntos podrían ubicarse en la línea?

 

 

Probablemente identificaste que si esta tendencia continúa el siguiente par ordenado se ubicaría en (5, 10). Esto tiene sentido porque el punto (5, 10) se "alinea" con el resto de puntos de la serie—se encuentra, literalmente, en la misma línea que los demás. Aplicando la misma lógica, puedes determinar que los pares ordenados (6, 12) y (7, 14) también podrían pertenecer, si este plano de coordenadas fuera mayor; éstos, también, se alinearían con los otros puntos.

 

Estas series de puntos también se puede representar en una tabla. En la siguiente tabla, están registradas las coordenadas x e y de cada par ordenado en el gráfico.

 

 

Observa que cada coordenada y es el doble del valor correspondiente a x. Todos estos valores de x e y siguen el mismo patrón, y, cuando son colocados en un plano de coordenadas, todos se alinean.

 

Una vez que sabes cuál es el patrón que relaciona a los valores de x e y, puedes encontrar un valor de y para cualquier valor de x que se encuentre en la línea. Por lo tanto, si la regla de este patrón es que cada coordenada es el doble del valor x correspondiente, entonces los pares ordenados (1.5, 3), (2.5, 5), y (3.5, 7) también deben aparecer en la línea, ¿correcto? Observa lo qué sucede.

 

 

Si siguieras sumando pares ordenados (x, y), en los que el valor de y fuese el doble del valor de x, terminarías con un gráfico como este.

 

 

Observa cómo se funden todos los puntos para crear una línea. Puedes pensar en una línea, entonces, como una colección de un número infinito de puntos particulares que comparten la misma relación matemática. En este caso, la relación es que el valor de y es del doble del valor x.

 

Hay varias formas de representar una relación lineal--una tabla, un gráfico lineal, y también hay una ecuación lineal. Una ecuación lineal es una ecuación con dos variables cuyos pares ordenados se grafican como una línea recta.

 

Hay varias maneras de crear un gráfico a partir de una ecuación lineal. Una manera de hacerlo es crear una tabla de valores para x e y, y, a continuación, dibujar estos pares ordenados en el plano de coordenadas. Dos puntos son suficientes para determinar una línea. No obstante, siempre es una buena idea representar más de dos puntos para evitar posibles errores.

 

A continuación, dibuja una línea a través de los puntos para mostrar todos los puntos que se encuentran sobre la línea. Las flechas situadas en cada extremo del gráfico indican que la línea sigue sin fin hacia ambas direcciones. Cada punto de esta línea es una solución para la ecuación lineal.

 

 

 

Las ecuaciones lineales graficadas anteriormente fueron resueltas para y. Si la ecuación no es expresada en términos de y, lo mejor es primero resolver la ecuación para y. Si no existe y en la ecuación, entonces resuelve la ecuación para x.

 

 

Las ecuaciones lineales x = 2 e y = -3 sólo tienen una variable en cada una de ellas. Sin embargo, dado que estas son ecuaciones lineales, entonces se graficarán en un plano de coordenadas al igual que lo hacen las ecuaciones lineales de arriba. Solo piensa en la ecuación x = 2 como x = 0y + 2 y piensa en y = -3 como y = 0x - 3.

 

 

Observa que y = -3 se grafica como una línea horizontal.

 

¿Qué tabla de valores podría ser generada por la ecuación 2y - 5x = 10? A) x y 5 0 7.5 1 10 2 B) x y 1 5 2 6 3 7 C) x y 1 15 2 20 3 25 D) x y 0 5 1 7.5 2 10

 

Intersecciones de x e y

Las intersecciones de una línea son los puntos donde la línea se intersecta o cruza con los ejes horizontales y verticales. Para ayudarte a recordar lo que significa "intersectar", piensa en la palabra "cruzar". Ambas palabras, en este caso, significan lo mismo.

 

La recta del gráfico siguiente intersecta los dos ejes de coordenadas. El punto donde la línea cruza el eje x se llama la intersección x. La intersección y es el punto donde la línea cruza el eje y.

 

 

 

La intersección x anterior es el punto (2, 0). La intersección y anterior es el punto (0, 2).

Observa que la intersección y siempre ocurre cuando x = 0 y la intersección x siempre ocurre cuando y = 0.

Para encontrar la intersección x e y de una ecuación lineal, puedes sustituir x e y por 0 respectivamente.

Por ejemplo, la ecuación lineal 3y + 2x = 6 tiene una intersección x cuando y = 0, por lo tanto 3(0) + 2x = 6.

   2x = 6

     X = 3

La intersección x es (3, 0).

 

Asimismo, la intersección y ocurre cuando x = 0.

            3y + 2(0) = 6

                   3y     = 6

                         Y = 2

La intersección y es (0, 2).

 

¿Cuál es la intersección y de una línea con la ecuación y = 5x - 4? A)  B) (-4, 0) C) (0, -4) D) (5, -4)

 

Utilizar Intersecciones para Graficar Ecuaciones Lineales

Puedes utilizar intersecciones para representar gráficamente ecuaciones lineales. Una vez que hayas encontrado las dos intersecciones, dibuja una línea a través de ellas.

 

Hagámoslo con la ecuación 3y + 2x = 6. Averiguaste que las intersecciones de la línea que representa esta ecuación son (0, 2) y (3, 0). Eso es todo lo que necesitas saber.

 

 

 

 

 

Pares Ordenados como Soluciones

Hasta el momento, has considerado las siguientes ideas sobre las líneas: una línea es una representación visual de una ecuación lineal, y la línea se compone de un número infinito de puntos (o pares ordenados). La siguiente imagen muestra la línea de la ecuación lineal y = 2x - 5 con algunos puntos específicos sobre la línea.

 

 

Cada punto sobre la línea es una solución de la ecuación y = 2x - 5. Puedes probar cualquiera de los puntos que están etiquetados como par ordenado, (1, -3).

            y = 2x - 5

-3 = 2(1) - 5

-3 = 2 - 5

-3 = -3 Esto es verdadero.

 

También puedes probar alguno de los otros puntos sobre la línea. Cada punto sobre la línea es una solución de la ecuación y = 2x - 5. Todo lo que esto significa es que es bastante sencillo determinar si un par ordenado es una solución para una ecuación. Si el par ordenado está sobre la línea creada por la ecuación lineal, entonces se trata de una solución para la ecuación. Pero si el par ordenado no está sobre la línea--sin importar cuán cerca pueda parecer--entonces no se trata de una solución para la ecuación.

 

Identificar Soluciones Para averiguar si un par ordenado es una solución para una ecuación lineal, puedes hacer lo siguiente: O Grafica la ecuación lineal y grafica el par ordenado. Si el par ordenado parece estar sobre el gráfico de una línea, es una posible solución de la ecuación lineal. Si el par ordenado no se sitúa sobre el gráfico de una línea, entonces no es una solución. O Sustituye los valores (x, y) en la ecuación. Si la ecuación arroja una afirmación verdadera, entonces el par ordenado es una solución para la ecuación lineal. Si el par ordenado no arroja una afirmación verdadera, entonces no es una solución.

 

 

Problemas de Aplicación

Las ecuaciones lineales pueden ser usadas para ejemplificar una serie de problemas de la vida real, como cuánto dinero ganas con el tiempo o la distancia que un ciclista viajará dado un ritmo de pedaleo. Graficar estas relaciones en un plano de coordenadas a menudo puede ayudarte a pensar en (y a encontrar soluciones para) el problema.

 

Considera este problema.

 

Eilene conduce 20 millas desde su casa hacia la estación del tren, y luego aborda un tren sin escalas hacia Nueva York. El tren viaja a 55 millas por hora durante todo el viaje. Después de 2 horas en el tren, ¿cuán lejos se encuentra de su casa? ¿Después de cuantas horas en el tren Eilene se encontrará a 300 millas de su casa?

 

Llamaremos a x = el tiempo (en horas) que Eilene viajó en el tren.

Conoces que la velocidad del tren es de 55 mph.

Por lo tanto, la distancia en el tren es d = vt, o 55x

Ella ya viajó 20 millas, por lo que su distancia total es 55x + 20.

Llamaremos a y la distancia total, por lo que y = 55x + 20.

Al sustituir x por algunos valores, puedes encontrar los valores correspondientes de y.

 

 

Una vez que has calculado algunos pares ordenados, puedes utilizar un gráfico para ejemplificar la situación. (Observa que este gráfico no pasa por el origen--¡Cuando Eilene aborda el tren, ella ya se encuentra a 20 millas de su casa, ya que vive a 20 millas de la estación de tren!).

Además, mantén el gráfico en el Cuadrante I, ya que estás limitado a una distancia y a un tiempo positivo.

 

 

La primera parte de la pregunta se puede resolver consultando la tabla de valores o la gráfica. Cuando x = 2, y = 130; esto significa que el Eilene se encontrará a 130 millas de su casa después de 2 horas en el tren.

 

Ahora piensa en la segunda parte de la pregunta: ¿después de cuántas horas en el tren Eilene se encontrará a 300 millas de su casa? Observa cuál es la coordenada x cuando y = 300. Es un poco más de 5, así que ella se encontrará a 300 millas después de aproximadamente 5 horas (¡y unos cuantos minutos!) en el tren. Problema resuelto.

 

Aquí hay otro problema.

Morgan va comprar una laptop por $1,080 para la escuela. Morgan utilizará el plan financiero de la tienda de computadoras para realizar esta compra--ella pagará $45 cada mes durante 24 meses. Ella quiere saber cuánto adeudará aún del plan después de cada mes.

 

Morgan puede llevar un seguimiento de su deuda haciendo un gráfico. El eje x será el número de meses y el eje y representará la cantidad de dinero que adeuda del ordenador.

 

Morgan conoce dos puntos de su calendario de pagos: el día que compra el equipo estará en el mes 0 y con 1,080 dólares de deuda, y el día en que lo pague completamente, estará en el mes 24 y con 0 dólares de deuda. Con estos dos puntos, ella traza una línea, que va desde la intersección y en (0, 1080) hasta la intersección x en (24, 0).

 

 

Morgan ahora pueden utilizar este gráfico para averiguar cuánto dinero adeuda todavía después de cierto número de meses. Por ejemplo, después de 6 meses, parece que Morgan adeuda $800. (Y si calculó exactamente, encontraría que quedarían $810 en su balance).

 

Resumen

Cuando se grafica en un plano de coordenadas, una relación lineal será una línea. Ejemplos de relaciones lineales son las ecuaciones lineales como y = x+ 3, 2x 5y = 8 y x = 4. Con la finalidad de graficar la ecuación, puedes encontrar conjuntos de pares ordenados a trazar sustituyendo números en una variable y encontrando la otra. Usualmente, será más fácil encontrar pares ordenados si resuelves la ecuación para y primero, o si no existe y en la ecuación y resuelves la ecuación para x. También puedes representar la ecuación mediante el uso de las intersecciones x e y para encontrar dos puntos a trazar. En cualquier caso, puedes dibujar una línea para indicar que todos los puntos de la línea son pares ordenados que satisfacen la ecuación lineal. Aún y cuando dos puntos pueden determinar una línea, siempre es una buena idea comprobar al menos otro punto.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.