Lectura: La pendiente de una línea

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Encontrar la pendiente de una línea en un gráfico.

·Encontrar la pendiente de una línea dados dos puntos.

·Encontrar la pendiente de las líneas x = a e y = b.

 

Introducción

La idea de la pendiente es algo que encuentro a menudo en la vida cotidiana. Piensa en un carro que circula hacia abajo sobre una rampa o en subir un tramo de escaleras. Tanto la rampa como las escaleras tienen una pendiente. Puedes describir la inclinación o la pendiente de la rampa y de las escaleras al considerar el movimiento horizontal y vertical a lo largo de ellas. En la conversación, utilizas palabras como "gradual" o "pronunciada" para describir la pendiente. A lo largo de una pendiente gradual, la mayoría del movimiento es horizontal. A lo largo de una pendiente pronunciada, es mayor el movimiento vertical.

 

Definición de Pendiente

La definición matemática de pendiente es muy similar a la de nuestro día a día. En matemáticas, la pendiente se utiliza para describir la inclinación y la dirección de las líneas. Simplemente al mirar el gráfico de una línea, puedes aprender algunas cosas sobre su pendiente, sobre todo en relación a otras líneas graficadas en el mismo plano de coordenadas. Considera los gráficos de las tres líneas que se muestra a continuación:

 

 

  En primer lugar, veamos las líneas A y B. Si imaginaras que estas líneas fueran colinas, dirías que la línea B es más pronunciada que la línea A. La línea B tiene una pendiente mayor de la línea A.

 

A continuación, observa que las líneas A y B se inclinan hacia arriba a medida que te desplazas de izquierda a derecha. Decimos que estas dos líneas tienen una pendiente positiva. La línea C se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha. La línea C tiene una pendiente negativa. Usando dos puntos de la línea, puedes encontrar la pendiente de la línea al encontrar la elevación y el desplazamiento. Al cambio vertical entre dos puntos se le denomina elevación, y al cambio horizontal se le denomina desplazamiento. La pendiente es igual a la elevación entre el desplazamiento: .

 

 

Encontrar la Pendiente de una Línea de un Gráfico

Puedes determinar la pendiente de una línea de su gráfico mirando la elevación y la carrera. Una de las características de una línea es que su pendiente es constante a lo largo de todo el camino. De esta manera, puedes elegir cualquiera de los 2 puntos a lo largo del gráfico de la línea para averiguar la pendiente. Veamos un ejemplo.

 

 

Esta línea tendrá una pendiente de  sin importar los dos puntos que elijas sobre la línea. Trata de medir la pendiente desde el origen (0, 0), hasta el punto (6, 3). Encontrarás que la elevación = 3 y el desplazamiento = 6. La pendiente es    . ¡Es lo mismo!

Veamos otro ejemplo.

 

 

Cuando observas las dos líneas, puedes notar que la línea azul es más pronunciada que la línea roja. Esto tiene sentido ya que el valor de la pendiente de la línea azul, 4 es mayor que el valor de la pendiente de la línea roja, . Cuanto mayor sea la pendiente más pronunciada será la línea.

El siguiente ejemplo muestra una línea con una pendiente negativa.

 

 

La dirección es importante cuando se trata de determinar la pendiente. Es importante prestar atención si te se mueves hacia arriba, abajo, izquierda o derecha; es decir, si te estás moviendo en una dirección positiva o negativa. Si te mueves hacia arriba para llegar a tu segundo punto, la elevación es positiva. Si te mueves hacia abajo para llegar a tu segundo punto, la elevación es negativa. Si te mueves hacia a la derecha para llegar a tu segundo punto, el desplazamiento es positivo. Si te mueves hacia la izquierda para llegar a tu segundo punto, el desplazamiento es negativo. En el ejemplo anterior, podrías haber encontrado la pendiente empezando por el punto B, desplazándote -2 y, a continuación, elevándote +3 para llegar al punto A. El resultado sigue siendo una pendiente de       .

 

 

Observar las Ecuaciones

La pendiente de una línea a veces puede ser determinada rápidamente a partir de su ecuación. Consideremos la línea cuya ecuación es y = 5x. Puedes crear una tabla de valores para encontrar 3 puntos sobre la línea.

 

 

Al trazar estos puntos, creas el gráfico de la línea y determinas la pendiente.

 

A medida que te trasladas del punto (-1, -5) hasta el punto (2, 10), la línea tiene una elevación de 15 y un desplazamiento de 3, así que la pendiente de la recta es . Observa que el número 5 también aparece en la ecuación: y = 5x.

 

Cuando la ecuación de una línea está escrita en la forma y = mx + b, es llamada intersección de la pendiente de la ecuación. La m es la pendiente de la línea.  B y b son el punto en el que se encuentra la intersección (y -0, b).

 

Por ejemplo, en la ecuación y = 3x - 7, la pendiente es 3, y la intercepción de y es (0, 7).

 

¿Qué pasa si la ecuación se escribe como 2y = 5x + 1? Entonces, debes reescribir la ecuación en la forma y = mx + b. Resuelve para y.

            2y = 5x + 1

              Y =  divide ambos lados de la ecuación entre 2.

La pendiente es, y la intercepción y es (0, ).

 

¿Cuál es la pendiente de la recta cuya ecuación es y = -2x + 7? A) 7 B) 2 C) - 2. D)

 

Encontrar la Pendiente de una Línea Dados Dos Puntos

Hemos visto que se puede encontrar la pendiente de una línea en un gráfico midiendo la elevación y el desplazamiento. También puedes encontrar la pendiente de una línea recta sin su gráfico si conoces las coordenadas de dos puntos cualesquiera en esa línea. Cada punto tiene un conjunto de coordenadas: un valor x y un valor y, escrito como un par ordenado (x, y). El valor x indica dónde se encuentra un punto horizontalmente. El valor y indica dónde se encuentra el punto verticalmente.

Consideremos dos puntos en una línea--Punto 1 y Punto 2. El Punto 1 tiene las coordenadas (x₁, y₁) y el Punto 2 tiene las coordenadas (x₂, y₂).

 

 

La elevación es la distancia vertical entre los dos puntos, lo cual es la diferencia entre sus coordenadas y. Eso convierte a la elevación en y₂ - y₁. El desplazamiento entre estos dos puntos es la diferencia de las coordenadas x, o x₂ - x₁.

Así,    o  

 

En el ejemplo siguiente, observarás que cada línea tiene dos puntos indicados como un par ordenado. El punto (0, 2) está indicado como Punto 1, y (-2, 6) como Punto 2. Por lo que te desplazarás desde el punto 1 hacia el punto 2. Un triángulo se dibuja por encima de la línea para ayudar a ilustrar la elevación y el desplazamiento.

 

Puedes ver en el gráfico que la elevación que va desde el Punto 1 hasta el Punto 2 es igual a 4, porque te estás moviendo 4 unidades en un sentido positivo (hacia arriba). El desplazamiento es igual a -2, porque te estás moviendo en una dirección negativa (izquierda) 2 unidades. Utilizando la fórmula de pendiente,

.

 

No necesitas el gráfico para encontrar la pendiente. Puedes utilizar las coordenadas, realizando un seguimiento estricto de cuál es el Punto 1, y de cuál es el Punto 2. Organicemos la información sobre los dos puntos:

 

 

La pendiente,  = . La pendiente de la línea, m, es igual a -2.

No importa qué punto sea designado como Punto 1 y cuál sea el Punto 2. Podrías haber nombrado a (-2, 6) Punto 1 y a (0, 2) Punto 2. En ese caso, colocar las coordenadas en la fórmula de la pendiente produce la ecuación . Una vez más, la pendiente m = -2. Esa es la misma pendiente que antes. Lo importante es ser coherente cuando restes: siempre debes restar en el mismo orden y₂ - y₁, y x₂ - x₁.

 

 

El ejemplo siguiente muestra la solución cuando se invierte el orden de los puntos, nombrando a (5, 5) Punto 1 y a (4, 2) Punto 2.

 

 

Observa que sin importar que par ordenado sea denominado Punto 1 y cuál sea denominado Punto 2, la pendiente sigue siendo igual a 3.

 

¿Cuál es la pendiente de una línea que incluye los puntos (-5, 1) y (2, 3)? A)  B)  C)  D)

 

Pregunta Avanzada ¿Cuál es la pendiente de una línea que incluye los puntos  y ? A)  B)  C)  D)

 

Encontrar las Pendientes de Líneas Horizontales y Verticales

Hasta ahora hemos considerado las líneas que se desplazan "hacia arriba" o "hacia abajo". Sus pendientes son pronunciadas o graduales, pero siempre son números positivos o negativos. Pero hay otros dos tipos de líneas, horizontales y verticales. ¿Cuál es la pendiente de una línea plana o a nivel del suelo? ¿De una pared o de una línea vertical?

 

Consideremos una línea horizontal de un gráfico. Sin importar que puntos de la línea elijas, éstos siempre tendrán la misma coordenada y. La ecuación para esta línea es y = 3. La ecuación puede ser escrita como y = (0)x + 3.

 

 

Al utilizar la formula y = 0x + 3, puedes observar que la pendiente es igual a 0. También puedes utilizar la fórmula de la pendiente con dos puntos en esta línea horizontal para calcular la pendiente de esta línea horizontal. Al utilizar (-3, 3) como el Punto 1 y (2, 3) como Punto 2, obtienes:

 

La pendiente de esta línea horizontal es igual a 0.

 

Consideremos cualquier línea horizontal. Sin importar cuales puntos de la línea elijas, siempre tendrás la misma coordenada y. Entonces, al aplicar la fórmula de la pendiente, el numerador siempre será igual a 0. Cero dividido entre cualquier número distinto de cero es igual a 0, por lo que la pendiente de cualquier línea horizontal siempre es igual a 0.

 

La ecuación de la línea horizontal y = 3 te está diciendo que sin importar cuál de los dos puntos de esta línea elijas, la coordenada y siempre será igual a 3.

¿Qué hay acerca de las líneas verticales? En su caso, independientemente de los dos puntos que elijas, siempre tendrán la misma coordenada x. La ecuación para esta línea es x = 2.

 

 

No hay manera de que esta ecuación se pueda poner en la forma de punto de una pendiente, pues el coeficiente de y es igual a 0 (x = 0y + 2).

Entonces, ¿qué sucede cuando se utiliza la fórmula de la pendiente con dos puntos de la línea vertical para calcular la pendiente? Al usar (2, 1) como Punto 1 y (2, 3) como Punto 2, obtienes:

Pero la división entre cero no tiene ningún significado para el conjunto de los números reales. Debido a este hecho, se dice que la pendiente de esta línea vertical es indefinida. Esto es cierto para todas las líneas verticales-- todas tienen una pendiente indefinida.

 

 

Pregunta Avanzada Cuál de los siguientes puntos se ubica sobre la línea creada por los puntos  y ? A)  B)  C)  D)

 

Resumen

La pendiente describe la inclinación de una línea. La pendiente de cualquier línea permanece constante a lo largo de la línea. La pendiente puede indicar también información sobre la dirección de la línea sobre el plano de coordenadas. La pendiente puede calcularse al mirar el gráfico de una línea o al utilizar las coordenadas de dos puntos en una línea. Existen dos fórmulas comunes para la pendiente:     y  donde m = pendiente y   son dos puntos de la línea.

 

Las imágenes a continuación son un resumen de las pendientes de diferentes tipos de líneas.

 

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.