Lectura: Escribir la Ecuación de una Línea

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Encontrar la pendiente y la intersección y, y escribir una ecuación de la línea.

·Dados la pendiente y un punto de la línea, escribir una ecuación de la línea.

·Dados dos puntos, escribir la ecuación de una línea.

 

Introducción

Una ecuación lineal puede ser expresada en la forma. En esta ecuación, x e y son las coordenadas de un punto, m es la pendiente y b es la coordenada y de la intersección y. Debido a que esta ecuación describe una línea en términos de su pendiente y de su intersección y, esta ecuación es llamada forma pendiente-intersección. Cuando se trabaja con relaciones lineales, la forma pendiente-intersección ayuda a traducir entre el gráfico de una línea y la ecuación de una línea.

 

La Forma Pendiente-Intersección

Simplemente cambiando los valores de m y b, puedes definir cualquier línea. Eso es lo poderoso y versátil de la forma pendiente-intersección.

Ahora que entiendes la forma pendiente-intersección, puedes observar el gráfico de una línea y escribir la ecuación tan sólo mediante la identificación de la pendiente y de la intercepción y de la gráfica. Probemos con esta línea.

 

 

En esta línea, la pendiente es igual a , y la intercepción y es igual a 4. Si pones esos valores en la forma pendiente-intersección, y = mx + b, obtendrás la ecuación .

 

Si conoces la pendiente de una línea y un punto de la línea, puedes dibujar un gráfico. De esta manera, al utilizar una ecuación de la forma pendiente-intersección, puedes identificar fácilmente la pendiente y un punto. Consideremos la ecuación . Puedes deducir a partir de esta ecuación que la intersección y se encuentra en (0, 1). Comienza por trazar ese punto (0, 1), en el gráfico.

 

También puedes deducir a partir de la ecuación que la pendiente de esta línea es igual a -3. Así que comienza en (0, -1) y cuenta hasta 3 y sobre -1 (1 unidad en sentido negativo, a la izquierda) y traza un segundo punto. (También podrías haber bajado hasta 3 y 1.) y, a continuación, dibuja una línea a través de ambos puntos, y ahí está, la gráfica de  .

 

 

¿Cuál es la ecuación de una línea que tiene una pendiente de -2 y pasa por el punto (0, 8)? A) y = -2x + 8 B) y = 8x - 2 C) y = -2x + 0 D) = 8x 0 - 2

 

La Pendiente y un Punto sobre la Línea

Utilizar la forma pendiente-intersección como ayuda para escribir la ecuación de una línea es posible cuando se conoce la pendiente (m) y la intersección y (b), pero ¿y si conocieras la pendiente y solo cualquier punto de la línea, no específicamente la intersección y? ¿Todavía puedes escribir la ecuación? La respuesta es sí, pero tendrás que poner en un poco más de empeño de lo que hiciste previamente.

 

Cabe recordar que un punto es un par de coordenadas (x, y) y que todos los puntos de la línea satisfarán la ecuación lineal. Por lo tanto, si tienes un punto de la línea, éste debe ser una solución a la ecuación. Aunque no conozcas la ecuación exacta, sin embargo, sabes que puedes expresar la línea en la forma pendiente-intersección, y = mx + b.

 

Conoces la pendiente (m), pero simplemente no conoces el valor de la intersección y (b). Debido a que el punto (x, y) es una solución de la ecuación, ¡puedes sustituir sus coordenadas por x e y en y = mx + b y resolver para encontrar b!

 

Esto puede parecer un poco confuso con todas las variables, pero un ejemplo real con una pendiente y un punto ayudará a clarificar.

 

 

Para confirmar nuestra álgebra, puedes comprobar al graficar la ecuación y = 3x + 1. La ecuación es correcta porque al graficar pasa por el punto (1, 4).

 

 

 

Escribe la forma pendiente-intersección de la línea con una pendiente igual a  y la cual contiene el punto (9, 4). A)  B)  C)  D)

 

Pregunta Avanzada Escribe la forma pendiente-intersección de la línea con una pendiente igual a -0.6 y que contiene el punto (3.8, 7.25). A) y = -0.6x + 3.8 B) y = -0.6x + 4.97 C) S = 3.8x + 7.25 D) y = -0.6x + 9.53

 

Dos Puntos sobre la Línea

Supongamos que no conoces la pendiente ni la intersección y, pero conoces la ubicación de dos puntos sobre la línea. Es más difícil, pero puedes encontrar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. Usarás nuevamente la forma pendiente-intersección como ayuda.

La pendiente de una ecuación lineal es siempre la misma, sin importar cuál de los dos puntos utilices para encontrar la pendiente. Ya que tienes dos puntos, puedes usar esos puntos para encontrar la pendiente (m). ¡Ahora tienes la pendiente y un punto de la línea! Ahora puedes sustituir valores para m, x e y en la ecuación y = mx + b y encontrar b.

 

 

Nota que no importa qué punto uses cuando sustituyes y resuelves para b--obtienes el mismo resultado para b de cualquier manera. En el ejemplo anterior, sustituiste las coordenadas del punto (2, 1) en la ecuación y = 2x + b. Comencemos con la misma ecuación, y = 2x + b, pero sustituye en (-1, -5):

 

y = 2x + b

-5 = 2(-1) + b

-5 = -2 + b

-3 = b

 

La ecuación final es la misma: y = 2x - 3.

 

 

Escribe la forma pendiente-intersección de la línea que pasa por (5, 2) y (-1, -10). A)  B)  C)  D)

 

Pregunta Avanzada ¿Cuál de las siguientes líneas pasa por los puntos  y ? A)  B)  C)  D)

 

Resumen

La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal se escribe como y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el valor de y en la intersección y, lo cual puede escribirse como (0, b). Cuando conoces la pendiente y la intercepción y de una línea, puedes utilizar la forma pendiente-intersección inmediatamente para escribir la ecuación de la línea. La forma pendiente-intersección también puede ayudarte a escribir la ecuación de una línea cuando conoces la pendiente y un punto sobre la línea o cuando conoces dos puntos sobre la línea.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.