Lectura: El Método de Sustitución

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución.

·Reconocer sistemas de ecuaciones que no tienen solución o que tienen un número infinito de soluciones.

·Resolver problemas de aplicación usando el método de sustitución.

 

Introducción

Un gráfico puede ser usado para mostrar la solución para un sistema de dos ecuaciones lineales. Sin embargo, determinar con precisión la solución desde un gráfico no siempre es fácil o preciso. Por ejemplo, ¿dónde crees que se intersectan las dos líneas que se muestran a continuación?

 

 

Parece que podría intersectarse en (1.8 -0.7)--aunque esto es sólo una estimación. En casos como este, puedes utilizar métodos algebraicos para encontrar respuestas exactas. Un método a considerar es el método de sustitución. Resuelves una ecuación de una variable y, a continuación, sustituyes esta expresión en la otra ecuación.

 

Utilizar la Sustitución para Resolver un Sistema de Ecuaciones

En el método de sustitución resuelves para una variable y después sustituyes esa expresión en la otra ecuación. Lo importante aquí es que siempre estás sustituyendo los valores equivalentes.

 

Por ejemplo:

Juan es 5 años mayor que cuatro veces la edad de su hija. Su hija tiene 7 años. ¿Cuál es la edad de Juan?

 

Puedes resolver este problema en tu cabeza. La hija de Juan tiene 7 años, por lo que "cuatro veces la edad de su hija" es igual a 28 años y 5 años sumado a ello da como resultado 33. Juan tiene 33 años.

 

Si resolviste un problema de esta manera, utilizaste una simple sustitución—sustituiste la "edad de su hija" por el valor "7". En la segunda parte del problema aprendiste que "su hija tiene 7 años." Por lo tanto, sustituir la "edad de su hija" por un valor de "7" en la primera parte del problema estuvo bien, porque sabías que estas dos cantidades eran iguales.

 

Veamos un sencillo sistema de ecuaciones que pueden ser resueltos mediante la sustitución.

 

 

Puedes sustituir el valor de una variable, incluso si se trata de una expresión. He aquí un ejemplo.

 

 

Recuerda, una solución para un sistema de ecuaciones deben ser una solución para cada una de las ecuaciones dentro del sistema. El par ordenado (4, -1) funciona para ambas ecuaciones, de esta manera sabes que se trata de una solución para el sistema.

 

Veamos otro ejemplo cuya sustitución implica la propiedad distributiva.

 

 

En los ejemplos anteriores, una de las ecuaciones ya nos fue dada en términos de la variable x o y. Esto nos permitió sustituir rápidamente ese valor en la otra ecuación y resolver una de las incógnitas.

 

A veces puedes tener que reescribir una de las ecuaciones en términos de una de las variables antes de que puedas sustituir. Mira el ejemplo siguiente.

 

 

Resuelve el sistema para x e y. 2y = x + 8 2y - 10 = 2x A) x = -3, y = 2 B) x = -2, y = 3 C) x = -5, y = 2 D) x = 0, y = -5

 

 Situaciones Especiales

Existen algunos casos donde el uso del método de sustitución producirá resultados que, en un principio, no tienen sentido. Echemos un vistazo a algunos de estos y averigüemos qué está sucediendo.

 

 

Obtienes la declaración falsa -8 = 4. ¿Qué significa esto? El gráfico de este sistema arroja alguna luz sobre lo que está sucediendo.

 

Las líneas son paralelas, nunca se cruzan y no hay solución para este sistema de ecuaciones lineales. Ten en cuenta que el resultado de -8 = 4 no es una solución. Simplemente es una declaración falsa e indica que no hay solución.

 

Ahora toma este problema, el cual también es interesante.

 

Resuelve para x e y.

y = -0.5x

9y = -4.5x

 

Al sustituir y por -0.5x en la segunda ecuación, encuentras lo siguiente:

 

 

Esta vez obtienes una afirmación verdadera: -4.5x = -4.5x. Pero, ¿qué significa este tipo de respuesta? De nuevo, la representación puede ayudarte a dar claridad a este sistema.

 

 

Este sistema consta de dos ecuaciones las cuales representan la misma línea; las dos líneas son colineales. Cada punto a lo largo de la línea será una solución para el sistema, y es por eso que el método de sustitución produce una afirmación verdadera. En este caso, hay un número infinito de soluciones.

 

Aubrey está utilizando el método de sustitución para resolver el siguiente sistema de ecuaciones: y - x = 21 2y = 2x + 16 Ella llega a una respuesta de 8 = 21. Ella piensa que esta respuesta significa que las líneas son paralelas y que el sistema no tiene solución. Aubrey quiere comprobar su respuesta. ¿Cuál de las siguientes acciones le ayudará mejor a averiguar si las dos ecuaciones del sistema son, de hecho, paralelas? A) Comprobar si las pendientes de ambas líneas son las mismos, y las intercepciones y son diferentes. B) Verificar si alguna línea pasa por el origen. C) Comprobar si las líneas tienen la misma intersección y. D) Comprobar si ambas líneas pasan por el punto (8, 21).

 

Resolver Problemas de Aplicación Utilizando la Sustitución

Los sistemas de ecuaciones son una herramienta muy útil para ejemplificar situaciones de la vida real y responder a preguntas sobre ellas. Si puedes traducir la aplicación en dos ecuaciones lineales con dos variables, entonces cuentas con un sistema de ecuaciones que puedes resolver para encontrar la solución. Puedes utilizar cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones. Utiliza el método de sustitución en este asunto.

 

Para vender más de su producción, una granja local vende bolsas de manzanas en dos tamaños: medianas y grandes. Una maleta mediana contiene 4 manzanas Macintosh y 1 manzana Granny Smith y cuesta $2.80. Una bolsa grande contiene 8 manzanas Macintosh y 4 manzanas Granny Smith y cuesta $7.20. El precio de una Manzana Granny Smith es el mismo en la bolsa mediana que en la bolsa grande. El precio de una manzana Macintosh es el mismo en la bolsa mediana que en la bolsa grande. ¿Cuál es el precio de cada tipo de manzana?

 

Empecemos creando un sistema de ecuaciones que represente lo que está sucediendo en el problema. Hay dos tipos de manzanas y dos tamaños de bolsas. Puedes dejar que m represente el costo de una manzana Macintosh y g represente el precio de una manzana Granny Smith. Hagamos una tabla y veamos lo que conocemos.

 

 

Ahora que tienes dos ecuaciones en las mismas variables puedes resolver el sistema. Utilizarás la sustitución. En el siguiente ejemplo se muestran los pasos:

 

 

Utilizar el método de sustitución puede ser un enfoque eficaz para resolver problemas geométricos.

 

 

Resumen

El método de sustitución es una forma de resolver sistemas de ecuaciones. Para utilizar el método de sustitución, usa una ecuación para encontrar una expresión para una de las variables en términos de la otra variable. Enseguida, sustituye esa expresión en lugar de esa variable en la segunda ecuación. A continuación, puedes resolver esta ecuación, ya que ahora tendrás sólo una variable. Resolver utilizando el método de sustitución arrojará uno de tres resultados posibles: un valor único para cada variable dentro del sistema (que indica una solución), una afirmación falsa (que indica que no hay soluciones), o una afirmación verdadera (que indica un número infinito de soluciones).

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.