Lectura: El Método de Eliminación
Objetivo(s) de Aprendizaje
·Resolver un sistema de ecuaciones cuando no es necesaria la multiplicación para eliminar una variable.
·Resolver un sistema de ecuaciones cuando es necesaria la multiplicación para eliminar una variable.
·Reconocer sistemas que no tienen solución o que tienen un número infinito de soluciones.
·Resolver problemas de aplicación utilizando el método de eliminación.
Introducción
El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales utiliza la propiedad de la igualdad para la suma. Puedes sumar el mismo valor a cada lado de una ecuación.
Por lo tanto, si tienes un sistema: x - 6 = -6 y x + y = 8, puedes sumar x + y al lado izquierdo de la primera ecuación y sumar 8 al lado derecho de la ecuación. Y puesto que x + y = 8, estás sumando el mismo valor en cada lado de la primera ecuación.
Utilizar la Suma para Eliminar una Variable
Si sumas las dos ecuaciones, x - y = -6 y x + y = 8, como se señaló anteriormente, observa lo que sucede.
Has eliminado el término y, y esta ecuación puede resolverse usando los métodos para resolver ecuaciones con una variable.
Veamos cómo se resuelve este sistema utilizando el método de eliminación.
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Ejemplo |
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Problema |
Usa la eliminación para resolver el sistema. x- y = -6 x + y = 8 |
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Suma las ecuaciones. |
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2x = 2 X = 1 |
Resuelve para x. |
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x + y = 8 1 + y = 8 y = 8 - 1 y = 7 |
Sustituye x = 1 en una de las ecuaciones originales y resuelve para y. |
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X - y = -6 1 - 7 = -6 -6 = -6 VERDADERO |
x + y = 8 1 + 7 = 8 8 = 8 VERDADERO |
¡Asegúrate de comprobar tu respuesta en ambas ecuaciones! Comprueba las respuestas. |
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Respuesta |
La solución es (1, 7). |
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Lamentablemente, no todos los sistemas funcionan tan fácilmente. Que hay sobre un sistema como 2x + y = 12 y -3x + y = 2. Si sumas estas dos ecuaciones, ninguna variable es eliminada.
Pero deseas eliminar una variable. Así que sumemos a la otra ecuación el inverso de una de las ecuaciones.
2x + y =12 → 2x + y = 12 → 2x + y = 12
-3x + y = 2 → - (-3x + y) = -(2) → 3x - y = -2
5x + 0y = 10
Has eliminado la variable y, y el problema puede ser resuelto. Observa el ejemplo a continuación.
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Ejemplo |
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Problema |
Usa la eliminación para resolver el sistema. 2x + y = 12 -3x + y = 2 |
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2x + y = 12 -3x + y = 2 |
Puedes eliminar la variable y si sumas a la otra ecuación el inverso de una de las ecuaciones. |
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2x + y = 12 3x - y = -2 5x = 10 |
Reescribe la segunda ecuación como su inverso. Suma. |
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x = 2 |
Resuelve para x. |
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2(2) + y = 12 4 + y = 12 y = 8 |
Sustituye y = 2 en una de las ecuaciones originales y resuelve para y. |
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2x + y = 12 2(2) + 8 = 12 4 + 8 = 12 12 = 12 VERDADERO |
-3x + y = 2 -3(2) + 8 = 2 -6 + 8 = 2 2 = 2 VERDADERO |
¡Asegúrate de comprobar tu respuesta en ambas ecuaciones! Comprueba las respuestas. |
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Respuesta |
La solución es (2, 8). |
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Los siguientes son otros dos ejemplos que muestran cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la eliminación.
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Ejemplo |
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Problema |
Usa la eliminación para resolver el sistema. -2x + 3y = -1 2x + 5y = 25 |
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Observa los coeficientes de cada variable en cada ecuación. Si sumas estas dos ecuaciones, el término x será eliminado debido a que -2x + 2x = 0. |
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Suma y resuelve para y. |
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2x + 5y = 25 2x + 5(3) = 25 2x + 15 = 25 2x = 10 x = 5 |
Sustituye y = 3 en una de las ecuaciones originales. |
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-2x + 3y = -1 -2(5) + 3(3) = -1 -10 + 9 = -1 -1 = -1 VERDADERO |
2x + 5y = 25 2(5) + 5(3) = 25 10 + 15 = 25 25 = 25 VERDADERO |
Verifica las soluciones. Las respuestas coinciden. |
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Respuesta |
La solución es (5, 3). |
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Ejemplo |
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Problema |
Utiliza la eliminación para resolver para x e y. 4x + 2y = 14 5x + 2y = 16 |
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Observa los coeficientes de cada variable en cada ecuación. Sumarás el inverso de una de las ecuaciones para eliminar la variable y, como 2y + 2y = 4y, pero 2y + (-2y) = 0. |
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Cambia una de las ecuaciones a su inverso, suma y resuelve para x. |
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4x + 2y = 14 4(2) + 2y = 14 8 + 2y = 14 2y = 6 y = 3 |
Sustituye x = 2 en una de las ecuaciones originales y resuelve para y. |
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Respuesta |
La solución es (2, 3). |
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Comprueba este último ejemplo--sustituye (2, 3) en ambas ecuaciones. ¡Obtienes dos afirmaciones verdaderas: 14 = 14 y 16 = 16!
Observa que podrías haber usado el inverso de la primera ecuación en lugar del inverso de la segunda ecuación y hubieses obtenido el mismo resultado.
Usar la Multiplicaciones y la Suma para Eliminar Variables
Muchas veces sumar las ecuaciones o sumar el inverso de una de las ecuaciones no dará como resultado la eliminación de una variable. Mira el sistema a continuación.
3x + 4y = 52
5x + y = 30
Si sumas las ecuaciones anteriores, o si sumas el inverso de una de las ecuaciones, obtendrás una ecuación que aún tiene dos variables. Así que ahora usemos primero la propiedad de la igualdad para la multiplicación. Puedes multiplicar ambos lados de una de las ecuaciones por un número que resultará en el coeficiente de una de las variables siendo el inverso de la misma variable en la otra ecuación.
Aquí es donde entra en escena la multiplicación. Observa que la primera ecuación contiene el término 4y, y la segunda ecuación contiene el término y. Si multiplicas la segunda ecuación por -4, cuando sumas ambas ecuaciones, las variables y se convertirán en 0.
3x + 4y = 52 → 3x + 4y = 52 → 3x + 4y = 52
5x + y = 30 → -4(5x + y) = -4(30) → -20x - 4y = -120
-17x + 0y = -68
Observa el ejemplo a continuación.
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para x e y. Ecuación A: 3x + 4y = 52 Ecuación B: 5x + y = 30 |
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Busca términos que puedan ser eliminados. Las ecuaciones no tienen ningún término de x o y con los mismos coeficientes. |
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Multiplica la segunda ecuación por 4, de manera que no tengan el mismo coeficiente. |
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Reescribe el sistema y suma las ecuaciones. |
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Resuelve para x. |
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3x + 4y = 52 3(4) + 4y = 52 12 + 4y = 52 4y = 40 y = 10 |
Sustituye x = 4 en una de las ecuaciones originales para encontrar y. |
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3x + 4y = 52 3(4)(10) + 4 = 52 12 + 40 = 52 52 = 52 VERDADERO |
5x + y = 30 5(4) + 10 = 30 20 + 10 = 30 30 = 30 VERDADERO |
Comprueba la respuesta. Las respuestas coinciden. |
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Respuesta |
La solución es (4, 10). |
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Hay otras formas de resolver este sistema. En lugar de multiplicar una ecuación a fin de eliminar una variable cuando las ecuaciones fueron sumadas, podrías haber multiplicado las dos ecuaciones por números diferentes.
Eliminemos la variable x en esta ocasión. Multiplica la Ecuación A por 5 y la Ecuación B por -3.
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para x e y. 3x + 4y = 52 5x + y = 30 |
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Busca términos que puedan ser eliminados. Las ecuaciones no tienen ningún término de x o y con el mismo coeficiente. |
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Para utilizar el método de eliminación, tienes que crear variables que tengan el mismo coeficiente--entonces puedes eliminarlas. Multiplica la ecuación superior por 5. |
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Ahora multiplica la ecuación del fondo por -3. |
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Suma las ecuaciones y resuelve para y. |
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3x + 4y = 52 3x + 4(10) = 52 3x + 40 = 52 3x = 12 X = 4 |
Sustituye y = 10 en una de las ecuaciones originales para encontrar x. |
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Respuesta |
La solución es (4, 10). |
Llegas a la misma solución que antes. |
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Estas ecuaciones fueron multiplicadas por 5 y por 3 respectivamente, debido a que ello te dio los términos que se convertirían en 0. Asegúrate de multiplicar todos los términos de la ecuación.
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Felix necesita encontrar x e y en el siguiente sistema. Ecuación A: 7y - 4x = 5 Ecuación B: 3y + 4x = 25 Si quiere utilizar el método de eliminación para eliminar una de las variables, ¿cuál es la forma más eficiente para de hacerlo? A) Sumar la Ecuación A y la Ecuación B B) Sumar 4x en ambos lados de la Ecuación A C) Multiplicar la Ecuación A por 5 D) Multiplicar la Ecuación B por -1 |
Al igual que con el método de sustitución, el método de eliminación a veces eliminará ambas variables, y terminarás ya sea con una afirmación verdadera o con una afirmación falsa. Recuerda que una afirmación falsa significa que no hay ninguna solución.
Veamos un ejemplo.
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para x e y. -x - y = -4 x + y = 2 |
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-x - y = -4 x + y = 2 0 = -2 |
Suma las ecuaciones para eliminar el término x. |
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Respuesta |
No hay ninguna solución. |
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Graficar estas líneas demuestra que son líneas paralelas y, como tales, no comparten ningún punto en común, verificando que no hay ninguna solución.
Si ambas variables son eliminadas y obtienes una afirmación verdadera, esto indica que hay un número infinito de pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones. De hecho, las ecuaciones son la misma línea.
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para x e y. x + y = 2 -x - y = -2 |
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x + y = 2 -x- y = -2 0 = 0 |
Suma las ecuaciones para eliminar el término x. |
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Respuesta |
Hay un número infinito de soluciones. |
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Graficar estas dos ecuaciones ayudará a ilustrar lo que está sucediendo.
Resolver Problemas de Aplicación Utilizando el Método de Eliminación
El método de eliminación puede ser aplicado para resolver sistemas de ecuaciones que ejemplifican situaciones reales. A continuación, se muestran dos ejemplos de cómo se utiliza el método de eliminación en la solución de problemas.
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Ejemplo |
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Problema |
La suma de dos números es igual a 10. Su resta es igual a 6. ¿Cuáles son los dos números? |
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x + y = 10. x- y = 6 |
Escribe un sistema de ecuaciones para ejemplificar la situación. x = un número y = el otro número |
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x + y = 10. + x - y = 6 2x = 16 x = 8 |
Suma las ecuaciones para eliminar el término y, y luego resuelve para x. |
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x + y = 10. 8 + y = 10 y = 2 |
Sustituye el valor de x en una de las ecuaciones originales para encontrar y. |
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x + y = 10 8 + 2 = 10 10 = 10 VERDADERO |
x - y = 6 8 - 2 = 6 6 = 6 VERDADERO |
Verifica tu respuesta sustituyendo x = 8 e y = 2 en el sistema original. Las respuestas coinciden. |
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Respuesta |
Los números son 8 y 2. |
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Ejemplo |
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Problema |
Un teatro vendió 800 boletos para su espectáculo del viernes por la noche. Un boleto para niños cuesta 4.50 dólares y un boleto para adultos cuesta $6.00. El total recaudado fue de $4,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? |
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El número total de boletos vendidos es de 800. a + c = 800 La cantidad de dinero recaudado es de $4,500 6a + 4.5c = 4,500 Sistema de ecuaciones: a + c = 800 6a + 4.5c = 4,500 |
Escribe un sistema de ecuaciones para ejemplificar la situación de venta de boletos. a = número de boletos vendidos para adultos c = número de boletos vendidos para niños |
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6(a + c) = 6(800) 6a + 4.5c = 4,500 6a + 6c = 4,800 6a + 4.5c = 4,500 |
Utiliza la multiplicación para reescribir la primera ecuación. |
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6a + 6c = 4,800 -6a - 4.5c = -4.500 1.5c = 300 c = 200 |
Suma el inverso de la segunda ecuación para eliminar un término y resuelve para c. |
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a+ 200 = 800 -200 -200 a = 600 |
Sustituye c por 200 en una de las ecuaciones originales. |
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a + c = 800 600 + 200 = 800 800 = 800 VERDADERO |
6a + 4,5c = 4,500 6(600) + 4.5(200) = 4,500 3,600 + 900 = 4,500 4500 = 4,500 VERDADERO |
Verifica tu respuesta sustituyendo a = 600 y c = 200 en el sistema original. Las respuestas coinciden. |
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Respuesta |
Se vendieron 600 boletos para adultos y 200 boletos para niños. |
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Resumen
La combinación de ecuaciones es una poderosa herramienta para resolver un sistema de ecuaciones. A sumar o restar dos ecuaciones con el fin de eliminar una variable en común se le llama método de eliminación (o método de adición). Una vez que una variable es eliminada, se vuelve mucho más fácil resolver la otra. La multiplicación puede utilizarse para establecer términos coincidentes en las ecuaciones antes de combinarlos. Cuando se utiliza el método de multiplicación, es importante multiplicar todos los términos en ambos lados de la ecuación--no sólo el término que estás tratando de eliminar.
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.
Last modified: Tuesday, October 16, 2018, 1:19 PM