Lectura: Notación Exponencial
Objetivo(s) de Aprendizaje
·Evaluar expresiones con exponentes.
·Evaluar notaciones exponenciales con exponentes de 0 y de 1.
·Escribir una expresión exponencial que involucre exponentes negativos con exponentes positivos.
Introducción
Se necesita un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas de forma clara y eficiente. La notación exponencial es un ejemplo. Fue desarrollada para escribir multiplicaciones repetidas de forma más eficiente. Por ejemplo, el crecimiento se produce en los organismos vivos por medio de la división de las células. Un tipo de célula se divide 2 veces en una hora. Así, en 12 horas, la célula se dividirá 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 veces. Esto puede ser escrito más eficientemente como 212.
Vocabulario Exponencial
Utilizamos la notación exponencial para escribir una multiplicación repetida, como 10 • 10 • 10 como 103. Al 10 de 103 se le llama base. Al 3 de 103 se le llama exponente. A la expresión 103 se le llama expresión exponencial.
base → 103 ←exponente
103 se lee como "10 a la tercera potencia" o "10 al cubo." Significa 10 • 10 • 10, o 1,000.
82 se lee como "8 a la segunda potencia" o "8 al cuadrado". Significa 8 • 8 o 64.
54 se lee como "5 a la cuarta potencia". Significa 5 • 5 • 5 • 5, o 625.
B5 se lee como "b a la quinta potencia". Significa b • b • b • b • b. Su valor dependerá del valor de b.
El exponente se aplica únicamente al número que está al lado. Así, en la expresión xy4, sólo la y es afectada por el 4. xy4 significa x • y • y • y • y.
Si la expresión exponencial es negativa, como -34, significa -(3 • 3 • 3 • 3) o -81.
Si -3 es la base, debe ser escrito como (-3)4, lo que significa -3 • -3 • -3 • -3 u 81.
Asimismo, (-x) 4 = (-x) • (-x) • (-x) • (-x) = x4, mientras -x4 =-(x • x • x • x).
Puedes observar que hay bastante diferencia, ¡así que tienes que ser muy cuidadoso!
Evaluar Expresiones con Exponentes
Evaluar expresiones con exponentes es lo mismo que evaluar cualquier expresión. Sustituyes el valor de la variable en la expresión y simplificas.
Puedes utilizar el refrán PEMDSR para recordar el orden en que se debe evaluar la expresión. En primer lugar, evalúa cualquier cosa entre Paréntesis o símbolos de agrupación. Después, busca Exponentes, seguido por Multiplicación y División (de izquierda a derecha) y, por último, Suma y Resta (de nuevo, de izquierda a derecha).
Por lo tanto, cuando evalúas la expresión 5x3 si x = 4, en primer lugar, sustituye la variable x por el valor 4. A continuación, evalúa, siguiendo el orden de las operaciones.
Ejemplo |
||
Problema |
Evalúa. 5x3 si x = 4 |
|
5 • 43 |
Sustituye la variable x por 4. |
|
5(4 • 4 • 4) = 5 • 64 |
Evalúa 43. |
|
320 |
Multiplica. |
|
Respuesta |
5x3 = 320 cuando x = 4 |
Observa la diferencia entre el ejemplo anterior y el siguiente.
Ejemplo |
||
Problema |
Evalúa. (5x)3 si x = 4 |
|
(5 • 4)3 |
Sustituye la variable x por 4. |
|
203 |
Multiplica. |
|
20 • 20 • 20 = 8,000 |
Evalúa 203. |
|
Respuesta |
(5x)3 = 8,000 cuando x = 4 |
¡La suma del paréntesis marcó una gran diferencia!
Ejemplo |
||
Problema |
Evalúa. X3 si x = -4 |
|
(-4)3 |
Sustituye la variable x por 4. |
|
-4 · -4 ·-4 |
Evalúa. |
|
-4 · -4 · -4 = -64 |
Multiplica. |
|
Respuesta |
X3=-64, cuando x = -4 |
Evalúa la expresión - (2x)4, si x = 3.
A) 1,296 B) -1,296 C) 162 D) -162 |
¿Qué significa cuando un exponente es de 0 o de 1? Observemos 251. Cualquier valor elevado a la potencia de 1 es simplemente el valor en sí. Esto tiene sentido, porque el exponente de 1 significa que la base se utiliza como un factor sólo una vez. De modo que la base permanece sola, y 251 es simplemente 25.
Pero ¿qué pasa con un valor elevado a la potencia de 0? Utiliza lo que sabes acerca de las potencias de 10 para averiguar qué significa la potencia de 0. A continuación se muestra una lista de potencias de 10 y sus valores equivalentes. Mira cómo cambian los números al bajar a lo largo de las columnas izquierda y derecha. Hay un patrón ahí--¿lo ves?
Forma Exponencial |
Formato Extendido |
Valor |
105 |
10 • 10 • 10 • 10 • 10 |
100,000 |
104 |
10 • 10 • 10 • 10 |
10,000 |
103 |
10 • 10 • 10 |
1,000 |
102 |
10 • 10 |
100 |
101 |
10 |
10 |
Al moverte hacia abajo a lo largo de la tabla, cada fila deja caer un factor de 10 desde la parte superior. Desde la fila 1 hasta la fila 2, la forma exponencial va de 105 a 104. El valor cae de 100,000 a 10,000. Otra forma de decirlo es que cada valor se divide entre 10 para producir el siguiente valor hacia abajo sobre la columna.
Utilicemos este patrón de división entre 10 para predecir el valor de 100.
Forma Exponencial |
Formato Extendido |
Valor |
105 |
10 • 10 • 10 • 10 • 10 |
100,000 |
104 |
10 • 10 • 10 • 10 |
10,000 |
103 |
10 • 10 • 10 |
1,000 |
102 |
10 • 10 |
100 |
101 |
10 |
10 |
100 |
1 |
1 |
Siguiendo la pauta, puedes observar que 100 es igual a 1. ¿El patrón se mantendría en una base diferente? ¿Digamos en una base de 3?
Forma Exponencial |
Formato Extendido |
Valor |
35 |
3 • 3 • 3 • 3 • 3 |
243 |
34 |
3 • 3 • 3 • 3 |
81 |
33 |
3 • 3 • 3 |
27 |
32 |
3 • 3 |
9 |
31 |
3 |
3 |
30 |
1 |
1 |
¡Sí! Y el mismo patrón seguiría siendo válido para cualquier número que no sea cero o una variable elevada a una potencia de 0, n0 = 1.
Hay un conflicto cuando la base es igual a 0. Sabes que 03 = 0, 02 = 0, y 01 = 0, por lo que sería de esperar que 00 también fuera igual a 0. Sin embargo, el esquema anterior dice que cualquier base elevada a la potencia de 0 es igual a 1, por lo que esto te lleva a creer que 00 = 1. Observa los patrones concurrentes--¡00 no puede ser igual a 0 y a 1! En este caso, los matemáticos dicen que el valor de 00 es indefinido. (¡Y recuerda que indefinido no es lo mismo que 0!).
Exponentes de 0 o de 1 Cualquier número o variable elevada a una potencia de 1 es el número en sí. n1 = n Cualquier número que no sea cero o una variable elevada a una potencia de 0 es igual a 1. n0 = 1 La cantidad 00 es indefinida. |
Ejemplo |
||
Problema |
Evalúa. 2x0 si x = 9 |
|
2 • 90 |
Sustituye 9 para la variable x. |
|
2 • 1 |
Evalúa 90. |
|
2 |
Multiplica. |
|
Respuesta |
2x0 = 2,si x = 9 |
Como lo has hecho anteriormente, para evaluar expresiones con exponentes de 0 o de 1, sustituye el valor de la variable en la expresión y simplifica.
Evalúa la expresión 3x0 - y1, si x = 12 e y = -6.
A) 42 B) -3 C) 9 D) 2 |
¿Qué significa cuando el exponente es un entero negativo? Utilicemos el patrón anterior de las potencias de 10 para averiguarlo. Si continúas agregando más filas a este patrón más allá del 100, encontrarás lo siguiente:
Forma Exponencial |
Formato Extendido |
Valor |
105 |
10 • 10 • 10 • 10 • 10 |
100.000 |
104 |
10 • 10 • 10 • 10 |
10.000 |
103 |
10 • 10 • 10 |
1.000 |
102 |
10 • 10 |
100 |
101 |
10 |
10 |
100 |
1 |
1 |
10-1 |
|
|
10-2 |
|
|
Al continuar la pauta, puedes observar que 100 es igual a 1. Entonces observar los exponentes negativos: 10-1 es igual a y 10-1 es lo mismo que .
Siguiendo esta pauta, un número con un exponente negativo puede ser reescrito como el recíproco del número original, con un exponente positivo.
Por ejemplo, 10-3 = y 10-7 =.
Para observar si estas pautas se mantienen verdaderas para otros números distintos a 10, echa un vistazo a esta tabla con potencias de 3.
Forma Exponencial |
Formato Extendido |
Valor |
35 |
3 • 3 • 3 • 3 • 3 |
243 |
34 |
3 • 3 • 3 • 3 |
81 |
33 |
3 • 3 • 3 |
27 |
32 |
3 • 3 |
9 |
31 |
3 |
3 |
30 |
1 |
1 |
3-1 |
|
|
3-2 |
|
|
Los números son distintos pero los patrones son los mismos. Ahora estamos listos para establecer la definición de un exponente negativo.
Exponente Negativo Para cualquier número n distinto de cero y para cualquier entero x, n-x= . Por ejemplo, 5-2= . |
Observa que la definición anterior afirma que la base, n debe ser un "número distinto de cero".
Evalúa la expresión (x-2) • (x0) cuando x = 6.
A) B) C) 0 D) 36 |
Resumen
La notación exponencial se compone de una base y de un exponente. Se trata de una forma "abreviada" de escribir multiplicaciones repetidas, e indica que la base es un factor y el exponente es el número de veces que se utiliza el factor de multiplicación. Las reglas básicas de los exponentes son como sigue:
·Un exponente aplica sólo para el valor a su izquierda inmediata.
·Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica para todo lo que hay dentro de los paréntesis.
·Para cualquier número n distinto de cero, n0 = 1.
·Para cualquier número n distinto de cero y para cualquier entero x, n -x = .
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.