Lectura: Notación Exponencial

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Evaluar expresiones con exponentes.

·Evaluar notaciones exponenciales con exponentes de 0 y de 1.

·Escribir una expresión exponencial que involucre exponentes negativos con exponentes positivos.

 

Introducción

 Se necesita un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas de forma clara y eficiente. La notación exponencial es un ejemplo. Fue desarrollada para escribir multiplicaciones repetidas de forma más eficiente. Por ejemplo, el crecimiento se produce en los organismos vivos por medio de la división de las células. Un tipo de célula se divide 2 veces en una hora. Así, en 12 horas, la célula se dividirá 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 veces. Esto puede ser escrito más eficientemente como 2¹².

 

Vocabulario Exponencial

Utilizamos la notación exponencial para escribir una multiplicación repetida, como 10 • 10 • 10 como 10³. Al 10 de 10³ se le llama base. Al 3 de 10³ se le llama exponente. A la expresión 10³ se le llama expresión exponencial.

 

base   → 10^{3   ←exponente}

10³ se lee como "10 a la tercera potencia" o "10 al cubo." Significa 10 • 10 • 10, o 1,000.

8² se lee como "8 a la segunda potencia" o "8 al cuadrado". Significa 8 • 8 o 64.

5⁴ se lee como "5 a la cuarta potencia". Significa 5 • 5 • 5 • 5, o 625.

B⁵ se lee como "b a la quinta potencia". Significa b • b • b • b • b. Su valor dependerá del valor de b.

El exponente se aplica únicamente al número que está al lado. Así, en la expresión xy⁴, sólo la y es afectada por el 4. xy⁴ significa x • y • y • y • y.

 

Si la expresión exponencial es negativa, como -3⁴, significa -(3 • 3 • 3 • 3) o -81.

 

Si -3 es la base, debe ser escrito como (-3)⁴, lo que significa -3 • -3 • -3 • -3 u 81.

 

Asimismo, (-x) ⁴ = (-x) • (-x) • (-x) • (-x) = x⁴, mientras -x⁴ =-(x • x • x • x).

 

Puedes observar que hay bastante diferencia, ¡así que tienes que ser muy cuidadoso!

 

Evaluar Expresiones con Exponentes

Evaluar expresiones con exponentes es lo mismo que evaluar cualquier expresión. Sustituyes el valor de la variable en la expresión y simplificas.

 

Puedes utilizar el refrán PEMDSR para recordar el orden en que se debe evaluar la expresión. En primer lugar, evalúa cualquier cosa entre Paréntesis o símbolos de agrupación. Después, busca Exponentes, seguido por Multiplicación y División (de izquierda a derecha) y, por último, Suma y Resta (de nuevo, de izquierda a derecha).

 

Por lo tanto, cuando evalúas la expresión 5x³ si x = 4, en primer lugar, sustituye la variable x por el valor 4. A continuación, evalúa, siguiendo el orden de las operaciones.

 

 

Observa la diferencia entre el ejemplo anterior y el siguiente.

 

 

¡La suma del paréntesis marcó una gran diferencia!

 

 

Evalúa la expresión - (2x)4, si x = 3.   A) 1,296 B) -1,296 C) 162 D) -162

 

Exponentes de Cero y de Uno

¿Qué significa cuando un exponente es de 0 o de 1? Observemos 25¹. Cualquier valor elevado a la potencia de 1 es simplemente el valor en sí. Esto tiene sentido, porque el exponente de 1 significa que la base se utiliza como un factor sólo una vez. De modo que la base permanece sola, y 25¹ es simplemente 25.

 

Pero ¿qué pasa con un valor elevado a la potencia de 0? Utiliza lo que sabes acerca de las potencias de 10 para averiguar qué significa la potencia de 0. A continuación se muestra una lista de potencias de 10 y sus valores equivalentes. Mira cómo cambian los números al bajar a lo largo de las columnas izquierda y derecha. Hay un patrón ahí--¿lo ves?

 

 

Al moverte hacia abajo a lo largo de la tabla, cada fila deja caer un factor de 10 desde la parte superior. Desde la fila 1 hasta la fila 2, la forma exponencial va de 10⁵ a 10⁴. El valor cae de 100,000 a 10,000. Otra forma de decirlo es que cada valor se divide entre 10 para producir el siguiente valor hacia abajo sobre la columna.

Utilicemos este patrón de división entre 10 para predecir el valor de 10⁰.

 

 

Siguiendo la pauta, puedes observar que 10⁰ es igual a 1. ¿El patrón se mantendría en una base diferente? ¿Digamos en una base de 3?

 

 

¡Sí! Y el mismo patrón seguiría siendo válido para cualquier número que no sea cero o una variable elevada a una potencia de 0, n⁰ = 1.

 

Hay un conflicto cuando la base es igual a 0. Sabes que 0³ = 0, 0² = 0, y 0¹ = 0, por lo que sería de esperar que 0⁰ también fuera igual a 0. Sin embargo, el esquema anterior dice que cualquier base elevada a la potencia de 0 es igual a 1, por lo que esto te lleva a creer que 0⁰ = 1. Observa los patrones concurrentes--¡0⁰ no puede ser igual a 0 y a 1! En este caso, los matemáticos dicen que el valor de 0⁰ es indefinido. (¡Y recuerda que indefinido no es lo mismo que 0!).

 

Exponentes de 0 o de 1 Cualquier número o variable elevada a una potencia de 1 es el número en sí.  n1 = n Cualquier número que no sea cero o una variable elevada a una potencia de 0 es igual a 1. n0 = 1 La cantidad 00 es indefinida.

 

 

Como lo has hecho anteriormente, para evaluar expresiones con exponentes de 0 o de 1, sustituye el valor de la variable en la expresión y simplifica.

 

Evalúa la expresión 3x0 - y1, si x = 12 e y = -6.   A) 42 B) -3 C) 9 D) 2

 

Exponentes Negativos

¿Qué significa cuando el exponente es un entero negativo? Utilicemos el patrón anterior de las potencias de 10 para averiguarlo. Si continúas agregando más filas a este patrón más allá del 10⁰, encontrarás lo siguiente:

 

 

Al continuar la pauta, puedes observar que 10⁰ es igual a 1. Entonces observar los exponentes negativos: 10^-1 es igual a y 10^-1  es lo mismo que .

Siguiendo esta pauta, un número con un exponente negativo puede ser reescrito como el recíproco del número original, con un exponente positivo.

Por ejemplo, 10^-3 =  y 10^-7 =.

Para observar si estas pautas se mantienen verdaderas para otros números distintos a 10, echa un vistazo a esta tabla con potencias de 3.

 

 

Los números son distintos pero los patrones son los mismos. Ahora estamos listos para establecer la definición de un exponente negativo.

 

Exponente Negativo Para cualquier número n distinto de cero  y para cualquier entero x, n-x= . Por ejemplo, 5-2= .

 

Observa que la definición anterior afirma que la base, n debe ser un "número distinto de cero".

 

Evalúa la expresión (x-2) • (x0) cuando x = 6.   A)  B)  C) 0 D) 36

 

Resumen

La notación exponencial se compone de una base y de un exponente. Se trata de una forma "abreviada" de escribir multiplicaciones repetidas, e indica que la base es un factor y el exponente es el número de veces que se utiliza el factor de multiplicación. Las reglas básicas de los exponentes son como sigue:

 

·Un exponente aplica sólo para el valor a su izquierda inmediata.

·Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica para todo lo que hay dentro de los paréntesis.

·Para cualquier número n distinto de cero, n⁰ = 1.

·Para cualquier número n distinto de cero  y para cualquier entero x, n ^-x = .

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.