Objetivo(s) de Aprendizaje

·Utilizar la regla del producto para multiplicar expresiones exponenciales con bases comunes.

·Utilizar la regla de la potencia para elevar potencias a las potencias.

·Utilizar la regla del cociente para dividir expresiones exponenciales con bases comunes.

·Simplificar expresiones utilizando una combinación de las propiedades.

 

Introducción

La notación exponencial se desarrolló para escribir multiplicaciones repetidas de forma más eficiente. Hay ocasiones en las que es más fácil dejar las expresiones en notación exponencial cuando multiplicas o divides. Veamos las reglas que te permitirán hacer esto.

 

La Regla del Producto para los Exponentes

Recuerda que los exponentes son una manera de representar una multiplicación repetida. Por ejemplo, la notación 54 puede ser extendida y escribirse como 5 • 5 • 5 • 5, o 625. Y no lo olvides, el exponente sólo aplica para el número a su izquierda inmediata, a menos que haya paréntesis.

 

¿Qué sucede si multiplicas dos números de forma exponencial con la misma base? Consideremos la expresión (23)(24). Al expandir cada exponente, esto se puede reescribir como (2  2  2) o 2  2  2  2 ó 2  2  2  2  2  2  2. En la forma exponencial, escribirías el producto como 27

 

Nota que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4.

 

¿Qué hay acerca de (x2)(x6)? Esto puede escribirse como (x • x)(x • x • x • x • x • x) = x • x • x • x • x • x • x • x  o x8. Y, una vez más, 8 es la suma de los dos exponentes originales.

 

La Regla del Producto para los Exponentes

Para cualquier número x y cualquier entero a y b, (x a)(xb) x = xa+b.

 

Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente suma los exponentes.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica.

(a3) (a 7).

(a3) (a 7).

La base de ambos exponentes es a, por lo que aplica la regla del producto.

a3+7

Suma los exponentes con una base común.

Respuesta

(a 3) (a 7) = a 10

 

Cuando multiplicas términos más complicados, multiplica los coeficientes y después multiplica las variables.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica.

5a· 7a6

35 · a4 · a6

Multiplica los coeficientes.

35 · a4+6

La base de ambos exponentes es a, por lo que aplica la regla del producto. Suma los exponentes.

35 · a 10

Suma los exponentes con una base común.

Respuesta

5a 4 ·7a 6 = 35a10

 

Simplifica la expresión, conservando la respuesta en notación exponencial.

(4x5)(2x8)

A)  8x5 • x8

B) 6x13

C) 8x13

D) 8x40

 

La Regla de la Potencia para los Exponentes

Simplifiquemos (52)4. En este caso, la base es 5y el exponente es 4, por lo tanto multiplica 5cuatro veces: (52)= 552 52 52 =  5(utilizando la Regla del Producto - Suma los exponentes).

 

(52)4  es una potencia de una potencia. Es la cuarta potencia de 5 a la segunda potencia. Y vimos anteriormente que la respuesta es 58. Observa que el nuevo exponente es el mismo que el producto de los exponentes originales: 2 4 = 8.

 

Por lo tanto, (52)4  = 54 = 5(lo que equivale a 390,625 si haces la multiplicación).

 

Asimismo, (x4)3 = x• 3 = x12.

 

Esto nos lleva a otra regla para los exponentes--La Regla de la Potencia para los Exponentes. Para simplificar una potencia de una potencia, multiplica los exponentes, conservando la misma base. Por ejemplo, (23)5 = 215.

 

La Regla de la Potencia para los Exponentes

Para cualquier número positivo x y enteros a y b: (xa)bxa· b.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica.

6(c4)2

6(c4)2

Debido a que estás elevando una potencia a una potencia, aplica la Regla de la Potencia y multiplica los exponentes para simplificar. El coeficiente se mantiene sin cambios porque está fuera de los paréntesis.

Respuesta

6(c4)= 6c8

 

Ejemplo

Problema

Simplifica.

a2(a5)3

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image001.gif

Eleva a5 a la potencia de 3 multiplicando los exponentes (la Regla de la Potencia).

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Debido a que los exponentes comparten la misma base, a, pueden combinarse (la Regla del Producto).

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Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image004.gif

 

Simplifica: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image005.gif

A) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image006.gif

B) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image007.gif

C) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image008.gif

D) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image009.gif

 

La Regla del Cociente para los Exponentes

Observemos la división de términos que contienen expresiones exponenciales. ¿Qué sucede si divides dos números de forma exponencial con la misma base? Considera la siguiente expresión.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image011.gif

Puedes reescribir la expresión como: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image012.gif. Entonces puedes cancelar los factores comunes de 4 en el numerador y en el denominador: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image013.gif

Por último, esta expresión se puede reescribir como 43 usando la notación exponencial. Observa que el exponente 3, resulta de la diferencia entre los dos exponentes de la expresión original, 5 y 2.

 

Así, http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image011.gif = 45-2 = 43.

Ten cuidado de restar el exponente en el denominador del exponente en el numerador.

 

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image014.gif

O

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image015.gif  = x7-9 = x-2

Por lo tanto, para dividir dos términos exponenciales con la misma base, resta los exponentes.

 

La Regla del Cociente para los Exponentes

Para cualquier número x distinto de cero y cualquier entero a y bhttp://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image016.gif

 

Observa que http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image017.gif = 40. Y sabemos que  http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image017.gif = http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image018.gif = 1. Por lo que esto puede ayudar a explicar por qué 40 = 1.

 

Ejemplo

Problema

Evalúa.  http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image019.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image020.gif

Estos dos exponentes tienen la misma base, 4. De acuerdo con la Regla del Cociente, puedes restar la potencia en el denominador de la potencia en el numerador.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image021.gif = 45

 

Al dividir términos que también contienen coeficientes, divide los coeficientes variables y después divide las potencias variables con la misma base restando los exponentes.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica. http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image022.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image023.gif

Separa en factores numéricos y variables.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image024.gif

Debido a que las bases de los exponentes son las mismas, puedes aplicar la Regla del Cociente. Divide los coeficientes y resta los exponentes de las variables que coincidan.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image025.gif=http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image026.gif

 

Aplicando las Reglas

Todas estas reglas de los exponentes—la Regla del Producto, la Regla de la Potencia, y la Regla del Cociente--son útiles a la hora de evaluar expresiones con bases comunes.

 

Ejemplo

Problema

Evalúa  http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image027.gifcuando x = 4.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image028.gif

Separa en factores variables y numéricos.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image029.gif

Divide los coeficientes y resta los exponentes de las variables.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image030.gif

Simplifica.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image031.gif

Sustituye la variable x por el valor 4.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image032.gif = 768

 

Normalmente, es más fácil simplificar la expresión antes de sustituir los valores para tus variables, pero obtendrás la misma respuesta en ambos sentidos.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica. http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image033.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image034.gif

Utiliza el orden de las operaciones con PEMDSR:

E: Evalúa los exponentes. Utiliza la Regla de la Potencia para simplificar (a5)3.

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http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image036.gif

M: Multiplica, utilizando la Regla del Producto mientras las bases sean las mismas.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image037.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image038.gif

D: Divide utilizando la Regla del Cociente.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image039.gif = http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L1_T2_text_final_3_files/image040.gif

 

Resumen

Existen normas que ayudan cuando multiplicas y divides expresiones exponenciales con la misma base. Para multiplicar dos términos exponenciales con la misma base, suma sus exponentes. Para elevar una potencia a una potencia, multiplica los exponentes. Para dividir dos términos exponenciales con la misma base, resta los exponentes.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons. 

最后修改: 2018年10月16日 星期二 13:21