Lectura: Propiedades de los Exponentes
Objetivo(s) de Aprendizaje
·Utilizar la regla del producto para multiplicar expresiones exponenciales con bases comunes.
·Utilizar la regla de la potencia para elevar potencias a las potencias.
·Utilizar la regla del cociente para dividir expresiones exponenciales con bases comunes.
·Simplificar expresiones utilizando una combinación de las propiedades.
Introducción
La notación exponencial se desarrolló para escribir multiplicaciones repetidas de forma más eficiente. Hay ocasiones en las que es más fácil dejar las expresiones en notación exponencial cuando multiplicas o divides. Veamos las reglas que te permitirán hacer esto.
La Regla del Producto para los Exponentes
Recuerda que los exponentes son una manera de representar una multiplicación repetida. Por ejemplo, la notación 54 puede ser extendida y escribirse como 5 • 5 • 5 • 5, o 625. Y no lo olvides, el exponente sólo aplica para el número a su izquierda inmediata, a menos que haya paréntesis.
¿Qué sucede si multiplicas dos números de forma exponencial con la misma base? Consideremos la expresión (23)(24). Al expandir cada exponente, esto se puede reescribir como (2 • 2 • 2) o 2 • 2 • 2 • 2 ó 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2. En la forma exponencial, escribirías el producto como 27.
Nota que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4.
¿Qué hay acerca de (x2)(x6)? Esto puede escribirse como (x • x)(x • x • x • x • x • x) = x • x • x • x • x • x • x • x o x8. Y, una vez más, 8 es la suma de los dos exponentes originales.
La Regla del Producto para los Exponentes Para cualquier número x y cualquier entero a y b, (x a)(xb) x = xa+b. |
Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente suma los exponentes.
Ejemplo |
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Problema |
Simplifica. (a3) (a 7). |
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(a3) (a 7). |
La base de ambos exponentes es a, por lo que aplica la regla del producto. |
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a3+7 |
Suma los exponentes con una base común. |
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Respuesta |
(a 3) (a 7) = a 10 |
Cuando multiplicas términos más complicados, multiplica los coeficientes y después multiplica las variables.
Ejemplo |
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Problema |
Simplifica. 5a4 · 7a6 |
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35 · a4 · a6 |
Multiplica los coeficientes. |
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35 · a4+6 |
La base de ambos exponentes es a, por lo que aplica la regla del producto. Suma los exponentes. |
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35 · a 10 |
Suma los exponentes con una base común. |
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Respuesta |
5a 4 ·7a 6 = 35a10 |
Simplifica la expresión, conservando la respuesta en notación exponencial. (4x5)(2x8) A) 8x5 • x8 B) 6x13 C) 8x13 D) 8x40 |
La Regla de la Potencia para los Exponentes
Simplifiquemos (52)4. En este caso, la base es 52 y el exponente es 4, por lo tanto multiplica 52 cuatro veces: (52)4 = 52 • 52 • 52 • 52 = 58 (utilizando la Regla del Producto - Suma los exponentes).
(52)4 es una potencia de una potencia. Es la cuarta potencia de 5 a la segunda potencia. Y vimos anteriormente que la respuesta es 58. Observa que el nuevo exponente es el mismo que el producto de los exponentes originales: 2 • 4 = 8.
Por lo tanto, (52)4 = 52 •4 = 58 (lo que equivale a 390,625 si haces la multiplicación).
Asimismo, (x4)3 = x4 • 3 = x12.
Esto nos lleva a otra regla para los exponentes--La Regla de la Potencia para los Exponentes. Para simplificar una potencia de una potencia, multiplica los exponentes, conservando la misma base. Por ejemplo, (23)5 = 215.
La Regla de la Potencia para los Exponentes Para cualquier número positivo x y enteros a y b: (xa)b= xa· b. |
Ejemplo |
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Problema |
Simplifica. 6(c4)2 |
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6(c4)2 |
Debido a que estás elevando una potencia a una potencia, aplica la Regla de la Potencia y multiplica los exponentes para simplificar. El coeficiente se mantiene sin cambios porque está fuera de los paréntesis. |
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Respuesta |
6(c4)2 = 6c8 |
Ejemplo |
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Problema |
Simplifica. a2(a5)3 |
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Eleva a5 a la potencia de 3 multiplicando los exponentes (la Regla de la Potencia). |
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Debido a que los exponentes comparten la misma base, a, pueden combinarse (la Regla del Producto). |
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Respuesta |
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Simplifica: A) B) C) D) |
La Regla del Cociente para los Exponentes
Observemos la división de términos que contienen expresiones exponenciales. ¿Qué sucede si divides dos números de forma exponencial con la misma base? Considera la siguiente expresión.
Puedes reescribir la expresión como: . Entonces puedes cancelar los factores comunes de 4 en el numerador y en el denominador:
Por último, esta expresión se puede reescribir como 43 usando la notación exponencial. Observa que el exponente 3, resulta de la diferencia entre los dos exponentes de la expresión original, 5 y 2.
Así, = 45-2 = 43.
Ten cuidado de restar el exponente en el denominador del exponente en el numerador.
O
= x7-9 = x-2
Por lo tanto, para dividir dos términos exponenciales con la misma base, resta los exponentes.
La Regla del Cociente para los Exponentes Para cualquier número x distinto de cero y cualquier entero a y b: |
Observa que = 40. Y sabemos que = = 1. Por lo que esto puede ayudar a explicar por qué 40 = 1.
Ejemplo |
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Problema |
Evalúa. |
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Estos dos exponentes tienen la misma base, 4. De acuerdo con la Regla del Cociente, puedes restar la potencia en el denominador de la potencia en el numerador. |
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Respuesta |
= 45 |
Al dividir términos que también contienen coeficientes, divide los coeficientes variables y después divide las potencias variables con la misma base restando los exponentes.
Ejemplo |
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Problema |
Simplifica. |
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Separa en factores numéricos y variables. |
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Debido a que las bases de los exponentes son las mismas, puedes aplicar la Regla del Cociente. Divide los coeficientes y resta los exponentes de las variables que coincidan. |
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Respuesta |
= |
Todas estas reglas de los exponentes—la Regla del Producto, la Regla de la Potencia, y la Regla del Cociente--son útiles a la hora de evaluar expresiones con bases comunes.
Ejemplo |
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Problema |
Evalúa cuando x = 4. |
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Separa en factores variables y numéricos. |
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Divide los coeficientes y resta los exponentes de las variables. |
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Simplifica. |
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Sustituye la variable x por el valor 4. |
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Respuesta |
= 768 |
Normalmente, es más fácil simplificar la expresión antes de sustituir los valores para tus variables, pero obtendrás la misma respuesta en ambos sentidos.
Ejemplo |
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Problema |
Simplifica. |
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Utiliza el orden de las operaciones con PEMDSR: E: Evalúa los exponentes. Utiliza la Regla de la Potencia para simplificar (a5)3. |
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M: Multiplica, utilizando la Regla del Producto mientras las bases sean las mismas. |
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D: Divide utilizando la Regla del Cociente. |
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Respuesta |
= |
Resumen
Existen normas que ayudan cuando multiplicas y divides expresiones exponenciales con la misma base. Para multiplicar dos términos exponenciales con la misma base, suma sus exponentes. Para elevar una potencia a una potencia, multiplica los exponentes. Para dividir dos términos exponenciales con la misma base, resta los exponentes.
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.