Objetivos de aprendizaje

·Sumar polinomios.

·Encontrar el inverso de un polinomio.

·Restar polinomios.

 

Introducción

 

Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy diferente a las sumas y restas que haces cada día. Lo principal que hay que recordar es buscar y combinar términos comunes.

 

Suma de Polinomios

 

Puedes sumar dos (o más) polinomios al igual que has sumado expresiones algebraicas. Puedes eliminar los paréntesis y combinar términos semejantes.

 

 

Ejemplo

Problema

Suma. (3b + 5) + (2b + 4)

(3b + 2b) + (5 + 4)

Reagrupa utilizando la propiedad conmutativa de la suma y la propiedad asociativa de la suma.

5b + 9

Combina los términos comunes.

Respuesta

(3b + 5) + (2b + 4) = 5b + 9

 

 

 

Ejemplo

Problema

Un jardín rectangular tiene un lado con un largo de x + 7 y otro con un largo de 2x + 3. Encuentra el perímetro del jardín.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U11_L2_T2_text_final_4_files/image001.jpg

(x + 7) + (2x + 3) + (x + 7) + (2x + 3)

El perímetro de un rectángulo es igual a la suma del largo de sus lados.

(x + 2x + x + 2x) + (7 + 3 + 7 + 3)

Reagrupa por términos comunes utilizando las propiedades asociativa y conmutativa.

 

6x + 20

 

Suma los términos comunes.

Respuesta

 

El perímetro es de 6x + 20.

 

 

El procedimiento es el mismo que cuando sumas polinomios que contienen coeficientes negativos o restas:

 

 

Ejemplo

Problema

Suma. (-5x- 10x + 2) + (3x+ 7x - 4)

-5x2 + (-10x) + 2 + 3x2 + 7x + (-4)

Reescribe la resta como la suma del inverso.

 

(-5x+ 3x2) + (-10x + 7x) + (2 - 4)

Reagrupa utilizando las propiedades asociativa y conmutativa.

 

-2x+ (-3x) + (-2)

 

Combina los términos comunes.

Respuesta

(-5x- 10x + 2) + (3x+ 7x - 4) = -2x- 3x - 2

 

 

Los ejemplos anteriores muestran sumas de polinomios horizontalmente, de izquierda a derecha a lo largo de la misma línea. A algunas personas les gusta organizar su trabajo verticalmente, porque les resulta más fácil para asegurarse de que están combinando términos comunes. El siguiente ejemplo muestra este método "vertical" de suma de polinomios:

 

 

Ejemplo

Problema

Suma. (3x+ 2x - 7) + (7 x- 4x + 8)

 

 

 

3x2

+

2x

-

7

 

+

7x2

-

4x

+

8

 

Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear los términos comunes.

 

3x2

+

2x

-

7

 

+

7x2

-

4x

+

8

 

 

10x2

-

2x

+

1

 

Combina los términos comunes, prestando especial atención a los signos.

Respuesta

(3x+ 2x - 7) + (7 x- 4x + 8) = 10x2 - 2x + 1

 

 

A veces, en un orden vertical, puedes alinear cada término debajo de un término común, como en el ejemplo anterior. Pero a veces esto no es tan ordenado. Cuando no hay un término común que coincida para cada término, habrá lugares vacíos en el orden vertical.

 

 

Ejemplo

Problema

Suma. (4x+ 5x2 - 6x + 2) + (-4x2 + 10)

 

 

4x3

+

5x2

-

6x

+

2

+

 

 

-4x2

 

 

+

10

Escribe un polinomio debajo de los demás, alineando verticalmente los términos comunes.

 

Deja un espacio en blanco encima o debajo de cada término que no tenga un término común que coincida.

 

4x3

+

5x2

-

6x

+

2

+

 

 

-4x2

 

 

+

10

 

 

4x3

+

x2

-

6x

+

12

Combina los términos comunes prestando especial atención a los signos.

Respuesta

(4x+ 5x2 - 6x + 2) + (-4x2 + 10) = 4x3 + x2 - 6x + 12

 

 

Encuentra la suma.

(4a+ 5a + 7) + (8a + 2)

 

A) 9a+ 8 + 9

 

B) 16a2 + 10a

 

C) 12a2 + 5a + 9

 

D) 4a2 + 13+ 9

 

 

 

Encontrar el Inverso de un Polinomio

 

Cuando restas polinomios, sumarás el inverso, como lo has hecho con los números reales. Entonces ¿cómo puedes encontrar el inverso de un polinomio? Recuerda que el inverso de 3 es -3, y el inverso de -3 es 3. Justo como el inverso de un número se encuentra multiplicando el número por -1, podemos encontrar el inverso de un polinomio multiplicándolo por -1.

 

 

Ejemplo

Problema

Encuentra el inverso de 9x+ 10x + 5.

(-1)(9x2 + 10x + 5)

Encuentra el inverso multiplicando por 1.

(-1)9x2 + (-1)10x + (-1)5

 

Distribuye -1 para cada término del polinomio.

-9x2 + (-10x) + (-5)

 

Multiplica cada coeficiente por -1.

Respuesta

El inverso de 9x+ 10x + 5 es -9x2 - 10x - 5.

Reescribe la suma de un término negativo como una resta.

 

 

Ten cuidado cuando ya hay valores negativos o restas en el polinomio.

 

 

Ejemplo

Problema

Encuentra el inverso de 3p- 5p + 7.

(-1) (3p2 , 5p + 7)

Encuentra el inverso multiplicando por -1.

(-1)[3p2 + (-5)p + 7]

Cambia la resta a suma del inverso.

(-1)3p2 + (-1)(-5)p + (-1)7

 

Distribuye -1 para cada término del polinomio y multiplica cada coeficiente por -1.

-3p2 + 5p + (-7)

Reescribe la suma de un término negativo como una resta.

Respuesta

El inverso de 3p- 5p + 7 es -3p2 + 5p - 7.

 

 

Observa que en la búsqueda del inverso de un polinomio, cambia el signo de cada término del polinomio.

 

 

Encuentra el inverso del polinomio.

8a3 - 3a - 2

 

A) -8a3 - 3a - 2

 

B) 8a3 + 3a - 2

 

C) 8a3 + 3a + 2

 

D) -8a3 + 3a + 2

 

 

 

Resta de Polinomios

 

Así como restar números reales es lo mismo que sumar el inverso, puedes restar polinomios sumando el inverso del segundo polinomio. Veamos un ejemplo:

 

Ejemplo

Problema

Resta. (15x+ 12x + 20) - (9x+ 10x + 5)

(15x2 + 12x + 20) + (9x2 - 10x - 5)

Cambia la resta a suma del inverso. ¡Ten cuidado al cambiar el signo de cada término!

(15x+ 9x2) + (12x 10x) + (20 - 5)

Reagrupa para hacer coincidir los términos comunes.

6x + 2x + 15

Combina los términos comunes.

Respuesta

(15x+ 12x + 20) - (9x+ 10x + 5) = 6x + 2x + 15

 

 

Cuando los polinomios incluyen una gran cantidad de términos, puede ser fácil perder el rastro de los signos. Ten cuidado de transferirlos correctamente, especialmente cuando restes un término negativo.

 

 

Ejemplo

Problema

Resta. (14x3 + 3x - 5+ 14) - (7x3 + 5x - 8x + 10)

(14x3 + 3x2 - 5x + 14) + (-7x3 - 5x2 + 8x - 10)

Reescríbelo como la suma del inverso.

14x3 + 3x2 + (-5)x + 14 + (-7)x3 + (-5)x2 + 8x +(-10)

Es posible que desees volver a escribir todas las restas como las sumas de sus inversos.

14x+ (-7)x3 + 3x2 + (-5)x2 + (-5)+ 8x + 14 + (-10)

Reagrupa para juntar los términos comunes.

7x+ (-2)x+ 3+ 4

Combina los términos comunes.

Respuesta

(14x3 + 3x - 5+ 14) - (7x3 + 5x - 8x + 10) = 7x- 2x+ 3+ 4

 

 

Los problemas complejos, como el anterior, pueden resolverse más fácilmente utilizando el enfoque vertical (mostrado a continuación). Sin embargo, elegir combinar polinomios depende de ti--El punto clave es identificar términos comunes, y ser capaz de organizarlos de forma precisa.

 

 

Ejemplo

Problema

Resta. (14x3  + 3x - 5+ 14) - (7x3 + 5x - 8x + 10)

 

   14x3

+

3x2

-

5x

+

  14

- (7x3

+

5x2

-

8x

+

10)

Reorganiza utilizando el enfoque vertical.

 

 

14x3

+

3x2

-

5x

+

14

 

 

-7x3

-

5x2

+

8x

-

10

 

 

7x3

-

2x2

+

3x

+

4

Cambia la resta a la suma del inverso, y combina los términos comunes.

Respuesta

(14x3 + 3x - 5+ 14) - (7x3 + 5x - 8x + 10) = 7x- 2x+ 3+ 4

 

 

Al igual que con las operaciones con enteros, la experiencia y la práctica facilita la suma y la resta de polinomios.

 

 

Resta.

(4a– 5a + 7) - (8a3 - 3a - 2)

 

A) -4a- 8+ 5

 

B) --4a3 + 3a + 9

 

C) -4a3 - 2a + 9

 

D) -4a+ 2a + 5

 

 

 

Resumen

 

Cuando sumes o restes polinomios, utiliza las propiedades asociativa y conmutativa para reagrupar los términos de un polinomio en grupos de términos comunes. Cambia la resta, incluyendo la resta del segundo polinomio, a la suma del inverso. Al encontrar el inverso de un polinomio, asegúrate de cambiar el signo de cada término. A continuación, puedes combinar los términos comunes.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons. 

 

Last modified: Tuesday, October 16, 2018, 1:22 PM