Lectura: Multiplicación de Polinomios

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Multiplicar monomios.

·Multiplicar monomios por polinomios.

·Multiplicar dos binomios.

·Multiplicar dos polinomios.

 

Introducción

 

La multiplicación de polinomios consiste en aplicar las reglas de los exponentes y la propiedad distributiva para simplificar el producto. Esta multiplicación también puede ser ilustrada con un modelo de área, y puede ser útil en la ejemplificación de situaciones del mundo real. La comprensión de productos polinomios es un paso importante para aprender a resolver ecuaciones algebraicas que involucran polinomios.

 

Multiplicación de Monomios

 

Comencemos por multiplicar dos simples monomios. Considera un rectángulo cuyo largo es 2x y cuyo ancho es 3x. Para encontrar el área de este rectángulo, multiplica el largo por el ancho.

 

 

Área del rectángulo = (2x(3x) = (2x)(3x) = 2 • 3 • x • x = 6x²

 

Ten en cuenta que las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación se utilizan para reorganizar los factores, colocando los coeficientes y las variables juntas.

 

El área 6x², es un producto que incluye un coeficiente (6) y una variable con un número entero exponente (x²). En otras palabras, también es un monomio. Por lo tanto, el resultado de multiplicar dos monomios es--¡otro monomio!

Probemos con un problema algo más complejo: -9x³ • 3x².

 

¡Eso es todo! Al multiplicar monomios, multiplica los coeficientes y, luego, multiplica las variables. Si dos variables tienen la misma base, sigue las reglas de los exponentes, como en este ejemplo:

 

 

 

Encuentra el área del rectángulo:       A) 8y3   B) 15y5   C), 15y10   D) 8y5

 

 

El Producto de un Monomio y de un Polinomio

 

La propiedad distributiva puede utilizarse para multiplicar un polinomio por un monomio. Sólo recuerda que el monomio se debe multiplicar por cada término del polinomio. Consideremos la expresión 2x(2x² + 5x + 10).

 

Esta expresión puede ser ejemplificada con un esquema, como el que se muestra a continuación.

 

	2x2	5x	10
2x	4x3	10x2	20x

 

El modelo anterior ilustra la propiedad distributiva.

 

2x(2x² + 5x + 10) = 2x(2x²) + 2x(5x) = 2x(10)

                               = 4x³ + 10x² + 20x

 

He aquí un ejemplo:

 

 

 

 

Puede que necesites volverlo a escribir como la suma del inverso.

 

 

 

 

Encuentra el producto. ¡Ten cuidado con los signos! -3t2(7t3 + 3t2 - t)   A) -21t5 - 9t4 + 3t3   B) -21t5 + 9t4 - 3t3   C) -21t5 - 9t4 + 3t2   D) -21t5 + 3t2 - t

 

 

El Producto de Dos Binomios

 

Ahora exploremos la multiplicación de dos binomios. Una vez más, puedes dibujar un modelo de área para ayudar a darle lógica al proceso. Utilizarás cada binomio como una de las dimensiones de un rectángulo, y su producto como el área.

 

El siguiente modelo muestra (x + 4)(2x + 2):

 

	X	+	4
2x	2x2	8x
+
2	2x	8

 

Cada uno de los binomios está expandido en términos y constantes variables, x + 4, a lo largo de la parte superior del modelo y 2x + 2 a lo largo del lado izquierdo. El producto de cada par de términos es un rectángulo coloreado. El área total es la suma de todos estos pequeños rectángulos, 2x² + 8x + 2x + 8, si combinas todos los términos comunes, puedes escribir el producto o el área, como 2x² + 10x + 8.

 

Puedes usar la propiedad distributiva para determinar el producto de dos binomios.

 

 

 

 

Observa nuevamente el modelo de arriba para ver de dónde viene cada parte de 2x² + 8x + 2x + 8. ¿Puedes observar dónde multiplicas x por 2x + 2, y de dónde obtienes 2x² de x(2x)?

 

Otra forma de ver la multiplicación de binomios es observar que cada término de un binomio se multiplica por cada término del otro binomio. Observa el ejemplo de arriba: la x de x + 4 se multiplica tanto por el 2x como por el 2 de 2x + 2, y el 4 se multiplica tanto por el 2x como por el 2.

 

Algunas personas usan el método FOIL para realizar un seguimiento de qué pares se han multiplicado. Las letras de FOIL corresponden a Primero, Exterior, Interior, Último (por sus siglas en inglés):

 

F Primer término de cada binomio:       (x + 4)(2x + 2)          x(2x) = 2x²

O Términos exteriores:                        (x + 4)(2x + 2)          x(2) = 2x

Y Términos interiores:                          (x + 4)(2x + 2)           4(2x) = 8x

L Últimos términos de cada binomio: (x + 4)(2x + 2)             4(2) = 8

 

Cuando sumas los cuatro resultados, obtienes la misma respuesta,

2x² + 2x + 8x + 8 = 2x² + 10x + 8.

 

Aquí hay otro ejemplo, esta vez utilizando el método FOIL.

 

 

 

 

Debido a que la multiplicación es conmutativa, los términos pueden multiplicarse en cualquier orden. La expresión (2x + 2)(x + 4) tiene el mismo producto que (x + 4)(2x + 2), 2x² + 10x + 8. (Resuélvela y observa.) El orden en el que se multiplican los binomios no importa. Lo que importa es que multipliques cada término de un binomio por cada término de otro binomio.

 

El último paso en la multiplicación de polinomios es combinar términos comunes. Recuerda que un polinomio se encuentra simplificado sólo cuando no hay términos comunes restantes.

 

 

Encuentra el producto: (a + 10)(2a - 7)   A) 2a2 + 19a - 70   B) 3a+ 3   C) 2a2 - 70   D) 2a2 + 13a - 70

 

 

El Producto de un Binomio y de un Trinomio

 

Otro tipo de problema de multiplicación con polinomios es el producto de un binomio y de un trinomio. Aunque el método FOIL no puede ser utilizado exactamente ya que hay más de dos términos en un trinomio, sigues utilizando la Propiedad Distributiva para organizar los productos independientes. Mediante el uso de la propiedad distributiva, cada término del binomio debe ser multiplicado por cada término del trinomio. A continuación se muestran dos ejemplos.

 

 

 

 

¡Como puedes observar, multiplicar un binomio por un trinomio da como resultado muchos términos individuales! Algunas personas prefieren organizar estos problemas verticalmente y reunir términos comunes que se multiplican. Este método se muestra a continuación, utilizando el mismo problema de arriba.

 

 

 

 

Observa que, aunque los dos problemas fueron resueltos mediante distintas estrategias, el producto es el mismo. Tanto el método horizontal como el vertical aplican la Propiedad Distributiva para multiplicar un binomio por un trinomio.

 

El siguiente ejemplo muestra la multiplicación por un binomio y por un trinomio, los cuales contienen una resta. El ejemplo finaliza la multiplicación sin tener que reescribir cada resta como la suma del inverso. ¡Nota donde debas ser muy cuidadoso con los signos! (Si lo prefieres, puedes continuar reescribiendo la resta como la suma del inverso).

 

 

 

 

Encuentra el producto: (3x - 2)(2x2 + 4x - 11)   A) 6x3 + 8x2 - 41x + 22   B) 6x3 + 8x2 - 41x - 22   C) 6x3 + 12x + 22   D) 3x3 + 8x2 + 25x - 22

 

 

Resumen

 

La multiplicación de binomios y de polinomios requiere del uso de la propiedad distributiva, así como de las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. Ya sea que los polinomios sean monomios, binomios o trinomios, multiplica cuidadosamente cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio. Ten cuidado de observar los signos de suma y resta, así como los coeficientes negativos. Un producto está escrito de forma simplificada si todos sus términos comunes se han combinado.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.