Lectura: Máximo Factor Común
Objetivo(s) de Aprendizaje
·Encontrar el máximo factor común (MFC) de los monomios.
·Factorizar polinomios a través de la factorización del máximo factor común (MFC).
·Factorizar expresiones con cuatro términos por agrupación.
Introducción
Los Factores son las piedras bases de la multiplicación. Son las cifras que se pueden multiplicar para producir otro número: 2 y 10 son factores de 20, así como 4, 5, 1 y 20. Factorizar un número es reescribirlo como un producto. 20 = 4 • 5.
Al igual que factorizar un polinomio, lo reescribes como un producto. Justo como cualquier entero puede escribirse como el producto de factores, también cualquier monomio o polinomio puede expresarse como un producto de factores. La factorización es muy útil para simplificar y resolver ecuaciones con polinomios.
Un factor primo es similar a un número primo--sólo se tiene a sí mismo y al 1 como factores. Al proceso de dividir un número en sus factores primos se le denomina factorización de números primos.
Primero encontremos el máximo factor común (MFC) de dos números enteros. El MFC de dos números es el máximo número que es un factor de ambos números. Toma los números 50 y 30.
50 = 10 • 5
30 = 10 • 3
Su máximo factor común es 10, ya que 10 es el máximo factor que ambos números tienen en común.
Para encontrar el MFC de números mayores, puedes factorizar cada número para encontrar sus factores primos, identificar los principales factores que tienen en común, y luego multiplicarlos entre sí.
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Ejemplo |
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Problema |
Encuentra el máximo factor común de 210 y 168. |
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210 = 2 • 3 • 5 • 7 |
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168 = 2 • 2 • 2 • 3 • 7 |
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MFC = 2• 3 • 7 |
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Respuesta |
MFC = 42 |
Debido a que el MFC es el producto de los factores primos que tienen en común estos números, sabes que es un factor de ambos números. (Si deseas probar esto, continúa y divide tanto 210 como 168 entre 42--¡ambos son divisibles entre este número!).
Encontrar el máximo factor común de un conjunto de monomios no es muy diferente a encontrar el MFC de dos números enteros. El método sigue siendo el mismo: factoriza independientemente cada monomio, busca factores comunes, y luego multiplícalos para obtener el MFC.
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Ejemplo |
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Problema |
Encuentra el máximo factor común de 25b3 y 10b2. |
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25b3 = 5 • 5 • b • b • b |
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10b2 = 5 • 2 • b • b |
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MFC = 5• b • b |
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Respuesta |
MFC = 5b2 |
Los monomios tienen los factores 5, b y b en común, lo que significa que su máximo factor común es 5 • b • b, o simplemente 5b2.
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Ejemplo |
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Problema |
Encuentra el máximo factor común de 81c3d y 45c2d2. |
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81c3d = 3 • 3 • 3 • 3 • c • c • c • d |
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45c2d2 = 3 • 3 • 5 • c • c • d • d |
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MFC = 3 • 3 • c • c • d |
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Respuesta |
MFC = 9c2d |
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Encuentra el máximo factor común de 56xy y16y3. A) 8 B) 8y C) 16y D) 8xy3 |
Uso del MFC para Factorizar Polinomios
Cuando se combinan dos o más monomios (ya sea al sumarlos o restarlos), a la expresión resultante se le llama polinomio. Si puedes encontrar factores comunes para cada término del polinomio, entonces puedes factorizar el polinomio.
A medida que observas los ejemplos de polinomios simples a continuación, trata de identificar los factores que tienen en común los términos de los polinomios.
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Polinomio |
Términos |
Factores Comunes |
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6x + 9 |
6x y 9 |
3 es un factor de 6x y 9 |
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a2 - 2a |
a2 y -2a |
a es un factor de a2 y -2a. |
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4c3 + 4c |
4c3 y 4c |
4 y c son factores de 4c3 y 4c |
Para factorizar un polinomio, primero identifica el máximo factor común de los términos. Ahora puedes utilizar la propiedad distributiva para reescribir el polinomio factorizado de forma factoriza. Recuerda que la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma indica que un producto de un número y una suma es igual a la suma de los productos.
Producto de un número y una suma: a(b + c) = a • b + a • c. Puedes decir que "a se distribuye sobre b + c".
Suma de los productos: a • b + a • c = a(b + c). Aquí puedes decir que "a es factorizado".
En ambos casos, la propiedad distributiva es la que se utiliza.
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Ejemplo |
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Problema |
Factoriza 25b3 + 10b2. |
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25b3 = 5 • 5 • b • b • b 10b2 = 5 • 2 • b • b MFC = 5 • b • b = 5b2 |
Encuentra el MFC. En un ejemplo anterior, has encontrado que el MFC de 25b3 y 10b2 es igual a 5b2. |
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25b3 = 5b2 • 5b 10b2 = 5b2 • 2 |
Reescribe cada término con el MFC como uno de los factores. |
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5b2(5b) + 5b2(2) |
Reescribe el polinomio utilizando los términos factorizados en lugar de los términos originales. |
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5b2(5b + 2) |
Factoriza 5b2. |
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Respuesta |
5b2(5b + 2) |
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La forma factorizada del polinomio 25b3 + 10b2 es 5b2 (5b + 2). Puedes comprobar esto haciendo la multiplicación. 5b2(5b + 2) = 25b3 + 10b2.
Ten en cuenta que, si no factorizas el máximo factor común en primer lugar, puedes continuar el factorizando, en lugar de empezar todo de nuevo.
Por ejemplo:
25b3 + 10b2 = 5(5b3 + 2b2) Factoriza 5.
= 5b2(5b + 2) Después factoriza b2.
Observa que puedes llegar a la misma forma simplificada ya sea que factorices inmediatamente el MFC o si extraes los factores individualmente.
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Ejemplo |
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Problema |
Factoriza 81c3d + 45c2d2. |
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3 • 3• 9 • c • c • c • d |
Factoriza 81c3d. |
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3 • 3• 5 • c • c • d • d |
Factoriza 45c2d2. |
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3 • 3 • c • c • d = 9c2d |
Encuentra el MFC. |
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81c3d = 9c2d(9c) 45c2d2 = 9c2d(5d) |
Reescribe cada término como el producto del MFC y los términos restantes. |
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9c2d(9c) + 9c2d(5d) |
Reescribe la expresión polinómica utilizando los términos factorizados en lugar de los términos originales. |
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9c2d(9c + 5d) |
Factoriza 9c2d. |
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Respuesta |
9c2d(9c + 5d) |
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Factoriza 8a6 - 11a5. A) 88(a6 - a5) B) 8a(a5 - 3) C) a5(a - 1) D) a5(8a - 11) |
La propiedad distributiva te permite factorizar los factores comunes. Sin embargo, ¿qué hacer si los términos dentro del polinomio no comparten factores comunes?
Si no hay un factor común para todos los términos del polinomio, es necesaria otra técnica para ver si el polinomio se puede factorizar. Se trata de organizar el polinomio en grupos.
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Ejemplo |
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Problema |
Factoriza 4ab + 12a + 3b + 9 |
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(4ab + 12a) + (3b + 9) |
Agrupa los términos en pares. |
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4ab = 2 • 2 • a • b 12a = 3 • 2 • 2 • a GCF = 4a |
Encuentra el MFC del primer par de términos. |
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(4a • b + 4a • 3) + (3b + 9) 4a(b + 3) + (3b + 9) |
Factoriza el MFC, 4a, del primer grupo. |
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3b = 3 • b 9 = 3 • 3 MFC =3 |
Encuentra el MFC del segundo par de términos. |
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4a(b + 3) +(3 • b + 3 • 3) 4a(b + 3) + 3(b + 3) |
Factoriza 3 del segundo grupo. |
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4a(b + 3) + 3(b + 3) (b + 3)(4a + 3) |
Observa que los dos términos tienen un factor común (b + 3). Factoriza el factor común (b + 3) de los dos términos. |
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Respuesta |
(b + 3)(4a + 3) |
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Observa que cuando factorizas dos términos, el resultado a veces es un monomio multiplicado por un polinomio. Pero la forma factorizada de un polinomio de cuatro términos es el producto de dos binomios.
Este proceso se llama técnica de agrupación. Desglosado en pasos individuales, aquí te explicamos cómo hacerlo (también puedes seguir este proceso en el ejemplo a continuación).
· Agrupa en pares los términos del polinomio.
· Factoriza cada par de términos (encuentra el máximo factor común y, a continuación, utiliza la propiedad distributiva para sacar el MFC).
· Busca los factores comunes entre las formas factorizadas de los términos emparejados.
· Factoriza el polinomio común de los grupos.
Intentemos factorizar algunos otros polinomios de cuatro términos. Observa que en el ejemplo siguiente, el primer término es x2, y x es la única variable presente.
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Ejemplo |
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Problema |
Factoriza x2 + 2x + 5x + 10 |
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(x2 + 2x) + (5x + 10) |
Agrupa los términos del polinomio en pares. |
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x(x + 2) + (5x + 10) |
Factoriza como el factor común, x, del primer grupo. |
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x(x + 2) + 5(x + 2) |
Factoriza el factor común, 5, del segundo grupo. |
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(x + 2)(x + 5) |
Busca factores comunes entre las formas factorizadas de los términos emparejados. Aquí, el factor común es (x + 2). Factoriza el factor común, (x + 2), de ambos términos. El polinomio ahora está factorizado. |
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Respuesta |
(x + 2)(x + 5) |
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Este método de factorización sólo funciona en algunos casos. Observa que ambos factores aquí contienen el término x.
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Ejemplo |
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Problema |
Factoriza 2x2 - 3x + 8x - 12. |
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(2x2 - 3x) + (8x - 12) |
Agrupa los términos en pares. |
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x(2x - 3) + 4(2x - 3) |
Factoriza el factor común, x, del primer grupo y el factor común, 4 del segundo grupo. |
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(x + 4)(2x - 3) |
Factoriza el factor común, (2x 3), de ambos términos. |
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Respuesta |
(x + 4)(2x - 3) |
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Ejemplo |
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Problema |
Factoriza 3x2 + 3x -2x - 2. |
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(3x2 + 3x) + (−2x - 2) |
Agrupa los términos en pares. Debido a que la resta es lo mismo que la suma del inverso, puedes escribir -2x - 2 como + (-2x - 2). |
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3x(x + 1) + (−2x - 2) |
Factoriza el factor común 3x del primer grupo. |
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3x(x + 1) −2(x + 1) |
Factoriza el factor común -2 del segundo grupo. Observa lo que les sucede a los signos dentro del paréntesis una vez que -2 es factorizado. |
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(x + 1)(3x - 2) |
Factoriza el factor común, (x + 1), de ambos términos. |
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Respuesta |
(x + 1)(3x - 2) |
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Factoriza 10ab + 5b + 8a + 4. A) (2a + 1)(5b + 4) B) (5b + 2a)(4 + 1) C) 5(2ab + b + 8a + 4) D) (4 + 2a)(5b + 1) |
A veces, encontrarás polinomios que, a pesar de tus mejores esfuerzos, no se podrán factorizar en un producto de dos binomios.
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Ejemplo |
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Problema |
Factoriza 7x2 - 21x + 5x - 5. |
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(7x2 - 21x) + (5x - 5) |
Agrupa los términos en pares. |
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7x(x - 3) + (5x - 5) |
Factoriza el factor común 7x del primer grupo. |
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7x(x - 3) + 5(x - 1) |
Factoriza el factor común 5 del segundo grupo. |
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7x(x - 3) + 5(x - 1) |
Los dos grupos 7x(x - 3) y 5 (x - 1) no tienen factores comunes, por lo que este polinomio no puede seguir siendo factorizado. |
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Respuesta |
No se puede factorizar |
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En el ejemplo anterior, cada par se puede factorizar, pero entonces no hay ningún factor común entre los pares.
Resumen
Un número entero, un monomio, o un polinomio se puede expresar como un producto de factores. Puedes utilizar parte de la misma lógica que aplicas en la factorización de enteros para factorizar polinomios. Para factorizar un polinomio, en primer lugar, identifica el máximo factor común de los términos y, a continuación, aplica la propiedad distributiva para reescribir la expresión. Una vez que un polinomio en la forma a • b + a • c ha sido reescrito como a(b + c), donde a es el MDC, el polinomio se encuentra de forma factorizada.
Para factorizar un polinomio de cuatro términos mediante la agrupación, encuentra el factor común de los pares de términos en lugar de todo el polinomio. Utiliza la propiedad distributiva para reescribir los términos agrupados conforme el factor común multiplica un binomio. Finalmente, extrae los binomios comunes de los grupos factorizados. El polinomio factorizado completamente será el producto de dos binomios.
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.
Última modificación: martes, 23 de octubre de 2018, 10:04