Lectura: Máximo Factor Común

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Encontrar el máximo factor común (MFC) de los monomios.

·Factorizar polinomios a través de la factorización del máximo factor común (MFC).

·Factorizar expresiones con cuatro términos por agrupación.

 

Introducción

Los Factores son las piedras bases de la multiplicación. Son las cifras que se pueden multiplicar para producir otro número: 2 y 10 son factores de 20, así como 4, 5, 1 y 20. Factorizar un número es reescribirlo como un producto. 20 = 4 • 5.

 

Al igual que factorizar un polinomio, lo reescribes como un producto. Justo como cualquier entero puede escribirse como el producto de factores, también cualquier monomio o polinomio puede expresarse como un producto de factores. La factorización es muy útil para simplificar y resolver ecuaciones con polinomios.

 

Un factor primo es similar a un número primo--sólo se tiene a sí mismo y al 1 como factores. Al proceso de dividir un número en sus factores primos se le denomina factorización de números primos.

 

El Máximo Factor Común

Primero encontremos el máximo factor común (MFC) de dos números enteros. El MFC de dos números es el máximo número que es un factor de ambos números. Toma los números 50 y 30.

 

                                    50 = 10 • 5

                                    30 = 10 • 3

 

Su máximo factor común es 10, ya que 10 es el máximo factor que ambos números tienen en común.

 

Para encontrar el MFC de números mayores, puedes factorizar cada número para encontrar sus factores primos, identificar los principales factores que tienen en común, y luego multiplicarlos entre sí.

 

 

Debido a que el MFC es el producto de los factores primos que tienen en común estos números, sabes que es un factor de ambos números. (Si deseas probar esto, continúa y divide tanto 210 como 168 entre 42--¡ambos son divisibles entre este número!).

 

Encontrar el máximo factor común de un conjunto de monomios no es muy diferente a encontrar el MFC de dos números enteros. El método sigue siendo el mismo: factoriza independientemente cada monomio, busca factores comunes, y luego multiplícalos para obtener el MFC.

 

 

Los monomios tienen los factores 5, b y b en común, lo que significa que su máximo factor común es 5 • b • b, o simplemente 5b².

 

 

Encuentra el máximo factor común de 56xy y16y3. A) 8 B) 8y C) 16y D) 8xy3

 

Uso del MFC para Factorizar Polinomios

Cuando se combinan dos o más monomios (ya sea al sumarlos o restarlos), a la expresión resultante se le llama polinomio. Si puedes encontrar factores comunes para cada término del polinomio, entonces puedes factorizar el polinomio.

 

A medida que observas los ejemplos de polinomios simples a continuación, trata de identificar los factores que tienen en común los términos de los polinomios.

 

 

Para factorizar un polinomio, primero identifica el máximo factor común de los términos. Ahora puedes utilizar la propiedad distributiva para reescribir el polinomio factorizado de forma factoriza. Recuerda que la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma indica que un producto de un número y una suma es igual a la suma de los productos.

 

Producto de un número y una suma: a(b + c) = a • b + a • c. Puedes decir que "a se distribuye sobre b + c".

Suma de los productos:  a • b + a • c = a(b + c). Aquí puedes decir que "a es factorizado".

 

En ambos casos, la propiedad distributiva es la que se utiliza.

 

 

La forma factorizada del polinomio 25b³ + 10b² es 5b² (5b + 2). Puedes comprobar esto haciendo la multiplicación. 5b²(5b + 2) = 25b³ + 10b².

Ten en cuenta que, si no factorizas el máximo factor común en primer lugar, puedes continuar el factorizando, en lugar de empezar todo de nuevo.

 

Por ejemplo:

            25b³ + 10b² = 5(5b³ + 2b²) Factoriza 5.

                                = 5b²(5b + 2) Después factoriza b².

 

Observa que puedes llegar a la misma forma simplificada ya sea que factorices inmediatamente el MFC o si extraes los factores individualmente.

 

 

Factoriza 8a6 - 11a5. A) 88(a6 - a5) B) 8a(a5 - 3) C) a5(a - 1) D) a5(8a - 11)

 

Factorización por Agrupación

La propiedad distributiva te permite factorizar los factores comunes. Sin embargo, ¿qué hacer si los términos dentro del polinomio no comparten factores comunes?

 

Si no hay un factor común para todos los términos del polinomio, es necesaria otra técnica para ver si el polinomio se puede factorizar. Se trata de organizar el polinomio en grupos.

 

 

Observa que cuando factorizas dos términos, el resultado a veces es un monomio multiplicado por un polinomio. Pero la forma factorizada de un polinomio de cuatro términos es el producto de dos binomios.

 

Este proceso se llama técnica de agrupación. Desglosado en pasos individuales, aquí te explicamos cómo hacerlo (también puedes seguir este proceso en el ejemplo a continuación).

 

·       Agrupa en pares los términos del polinomio.

·       Factoriza cada par de términos (encuentra el máximo factor común y, a continuación, utiliza la propiedad distributiva para sacar el MFC).

·       Busca los factores comunes entre las formas factorizadas de los términos emparejados.

·       Factoriza el polinomio común de los grupos.

Intentemos factorizar algunos otros polinomios de cuatro términos. Observa que en el ejemplo siguiente, el primer término es x², y x es la única variable presente.

 

 

Este método de factorización sólo funciona en algunos casos. Observa que ambos factores aquí contienen el término x.

 

 

 

Factoriza 10ab + 5b + 8a + 4. A) (2a + 1)(5b + 4) B) (5b + 2a)(4 + 1) C) 5(2ab + b + 8a + 4) D) (4 + 2a)(5b + 1)

 

A veces, encontrarás polinomios que, a pesar de tus mejores esfuerzos, no se podrán factorizar en un producto de dos binomios.

 

 

En el ejemplo anterior, cada par se puede factorizar, pero entonces no hay ningún factor común entre los pares.

 

Resumen

Un número entero, un monomio, o un polinomio se puede expresar como un producto de factores. Puedes utilizar parte de la misma lógica que aplicas en la factorización de enteros para factorizar polinomios. Para factorizar un polinomio, en primer lugar, identifica el máximo factor común de los términos y, a continuación, aplica la propiedad distributiva para reescribir la expresión. Una vez que un polinomio en la forma a • b + a • c ha sido reescrito como a(b + c), donde a es el MDC, el polinomio se encuentra de forma factorizada.

 

Para factorizar un polinomio de cuatro términos mediante la agrupación, encuentra el factor común de los pares de términos en lugar de todo el polinomio. Utiliza la propiedad distributiva para reescribir los términos agrupados conforme el factor común multiplica un binomio. Finalmente, extrae los binomios comunes de los grupos factorizados. El polinomio factorizado completamente será el producto de dos binomios.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.