MAT 201: Lectura: Solución de Cuadráticas por Factorización

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Resolver ecuaciones de forma factorizada mediante el principio del Producto Cero.

·Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización y utilizando el principio del Producto Cero.

·Resolver problemas que impliquen ecuaciones cuadráticas.

Introducción

Cuando un polinomio es igual a un valor (ya sea un número entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede escribirse de la forma ax² + bx + c = 0 se denomina ecuación cuadrática. Puedes resolver una ecuación cuadrática utilizando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización cuando sea necesario, y utilizando el principio del Producto Cero.

El Principio del Producto Cero

El Principio del Producto Cero afirma que si el producto de dos números es igual a 0, entonces al menos uno de los factores es igual a 0. (Esto realmente no es nuevo).

Principio del Producto Cero

Si ab = 0, entonces ya sea a = 0 o b = 0, o ambos, a y b son 0.

Esta propiedad puede parecer bastante obvia, pero tiene grandes implicaciones para resolver ecuaciones cuadráticas. Si cuentas con un polinomio factorizado que es igual a 0, sabes que al menos uno de los factores o a ambos factores son iguales a 0.

Puedes utilizar este método para resolver ecuaciones cuadráticas. Empecemos con una que ya está factorizada.

Ejemplo
Problema	Resuelve (x + 4)(x - 3) = 0 para x.
	(x + 4)(x - 3) = 0	Aplicando el principio del Producto Cero, sabes que si el producto es igual a 0, entonces uno o ambos de los factores tiene que ser igual a 0.
	x + 4 = 0 o x - 3 = 0	Iguala a 0 cada factor.
	x + 4 - 4 = 0 - 4 x - 3 + 3 = 0 + 3 x = -4 o x = 3	Resuelve cada ecuación.
Respuesta	x = -4 o x = 3

Puedes comprobar estas soluciones sustituyendo cada una a la vez en la ecuación original, (x + 4)(x - 3) = 0. También puede probar con otro número para observar qué sucede.

Comprobar x = -4	Comprobar x = 3	Probar con x = 5
(x + 4)(x - 3) = 0	(x + 4)(x - 3) = 0	(x+ 4)(x - 3) = 0
(-4 + 4)(-4 - 3) = 0	(3 + 4) (3 - 3) = 0	(5 + 4) (5 - 2) = 0
(0)( -7) = 0	(7)(0) = 0	(9)(3) = 0
0 = 0	0 = 0	27 ≠ 0

Los dos valores que hemos encontrado a través de factorizar, x = 4 y x = 3, conducen a afirmaciones verdaderas: 0 = 0. Así, las soluciones son correctas. Pero x = 5, el valor no encontrado al factorizar, crea una afirmación falsa--¡27 no es igual a 0!

Resuelve para x.

(x - 5)(2x + 7) = 0

A) x = 5 o

B) x = 5 o -7

C) x = 0 o

D) x = 0

Solución de Cuadráticas

Intentemos resolver una ecuación que se ve un poco diferente: 5a² + 15a = 0.

Ejemplo
Problema	Resuelve para a: 5a² + 15a = 0.
	5a² + 15a = 0		Comienza por factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
	5a(a + 3) = 0		Factoriza 5a, que es un factor común de 5a² y de 15a.
	5a = 0 o	a + 3 = 0	Iguala a 0 cada factor.
	o a = 0	a + 3 - 3 = 0 - 3 a = -3	Resuelve cada ecuación.
Respuesta	a = 0 o a = -3

Para comprobar tus respuestas, puedes sustituir ambos valores directamente en la ecuación original y ver si obtienes una afirmación verdadera para cada una.

Comprobación de a = 0	Comprobación de a = -3
5a² + 15a = 0	5a² + 15a = 0
5(0)² + 15(0) = 0	5(-3)² + (15)(-3) = 0
5(0) + 0 = 0	5(9) - 45 = 0
0 + 0 = 0	45 - 45 = 0
0 = 0	0 = 0

Ambas soluciones son correctas.

Puedes utilizar el principio del Producto Cero para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx + c = 0. Primero factoriza la expresión e iguala a 0 cada factor.

Ejemplo
Problema	Resuelve para r: r² - 5r + 6 = 0.
	r² - 3r + -2r + 6 = 0		Reescribe -5r como -3r - 2r, como (3)(-2) = 6, y -3 + 2 = -5.
	(r² - 3r) + (-2r + 6) = 0		Agrupa los pares.
	r(r - 3) - 2(r - 3) = 0		Factoriza r del primer par y factoriza -2 del segundo par.
	(r - 3)(r - 2) = 0		Factoriza (r - 3).
	r - 3 = 0 o	r - 2 = 0	Utiliza el principio del Producto Cero para igualar a 0 cada factor.
	r = 3 o	r = 2	Resuelve cada ecuación.
Respuesta	r = 3 O r = 2		Las raíces de la ecuación original son 3 o 2.

Nota que en el ejemplo anterior, si el factor común de 2 se hubiese factorizado, el factor resultante sería (-r + 3), que es el negativo de (r - 3). De esta manera factorizar -2 resultará en el factor común de (r - 3). Si hubiéramos obtenido (-r + 3) como un factor, entonces al igualar a 0 ese factor y resolver para r habríamos obtenido:

(-r + 3) = 0	Principio del Producto Cero
(1)(-r + 3) = (-1)0	Multiplicar ambos lados por -1.
r - 3 = 0	Multiplicar.
r = 3	Sumar 3 a ambos lados.

Más trabajo, pero el mismo resultado que antes, r = 3 o r = 2.

Resuelve para h: h(2h + 5) = 0.

A) h = 0

B) h = 2 o 5

C) h = 0 o

D) h = 0 o

Aplicación de Ecuaciones Cuadráticas

Existen muchas aplicaciones para las ecuaciones cuadráticas. Cuando utilizas el principio del Producto Cero para resolver una ecuación cuadrática, necesitas asegurarte de que la ecuación sea igual a cero. Por ejemplo, 12x² + 11x + 2 = 7, primero debe ser cambiada a 12x² + 11x - 5 = 0 restando 7 en ambos lados.

Ejemplo
Problema		El área de un jardín rectangular es de 30 metros cuadrados. Si el largo es 7 metros más largo que el ancho, encuentra las dimensiones.
		A = l • w 30 = (w + 7)(w)		La fórmula para el área de un rectángulo es A = l • w. ancho = w largo = w + 7 area = 30
		30 = w² + 7w		Multiplica.
		w² + 7w - 30 = 0		Resta 30 en ambos lados para igualar a 0 la ecuación.
		w² + 10w – 3w - 30 = 0		Encuentra dos números cuyo producto sea igual a -30 y cuya suma sea igual a 7, y escribe el término de en medio como 10w - 3w.
		w(w + 10) - 3(w + 10) = 0		Factoriza w del primer par y 3 del segundo par.
		(w - 3)(w + 10) = 0		Factoriza w + 10.
	w - 3 = 0 w = 3		O w + 10 = 0 O w = -10	Utiliza la Propiedad del Producto Cero para resolver w.
		El ancho = 3 pies El largo es 3 + 7 = 10 pies		La solución w = -10 no funciona para esta aplicación, debido a que el ancho no es un número negativo, descartamos el -10. Por lo tanto, el ancho es de 3 pies. Sustituye w = 3 en la expresión w + 7 para encontrar la longitud: 3 + 7 = 10.
Respuesta		El ancho del jardín es de 3 pies, y el largo es de 10 pies.

El siguiente ejemplo muestra otra ecuación cuadrática donde originalmente ningún lado es igual a cero. (Ten en cuenta que la secuencia de factorizar se ha acortado).

Ejemplo
Problema	Resuelve 5b² + 4 = -12b para b.
	5b² + 4 + 12b = -12b + 12b	La ecuación original tiene -12b a la derecha. Para hacer que este lado sea igual a 0, suma 12b en ambos lados.
	5b² + 12b + 4 = 0	Combina los términos comunes.
	5b² + 10b + 2b + 4 = 0	Reescribe 12b como 10b + 2b.
	5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0	Factoriza 5b del primer par y 2 del segundo par.
	(5b + 2)(b + 2) = 0	Factoriza b + 2.
5b + 2 = 0 o b + 2 = 0		Aplica la Propiedad del Producto Cero.
o b = -2		Resuelve cada ecuación.
Respuesta	O b= -2

Si factorizas una constante, la constante nunca será igual a 0. Así que básicamente esto puede ser ignorado a la hora de resolver. Observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo
Problema	Un pequeño cohete de juguete es lanzado desde un pedestal de 4 pies. La altura (h, en pies) del cohete t segundos después de despegar está dada por la fórmula h = -2t² + 7t + 4. ¿Cuánto tiempo tardará el cohete en tocar el suelo?
	h = -2t² + 7t + 4 0 = -2t² + 7t + 4		El cohete estará sobre el suelo cuando la altura es igual a 0. Por lo tanto, sustituye h por 0 en la fórmula.
	0 = -2t² + 8t - t + 4		Factoriza el trinomio agrupándolo.
	0 = -2t(t - 4) - 1(t - 4) 0 = (-2t - 1)(t - 4) 0 = -1 (2t + 1)(t - 4)		Factoriza.
	2t + 1 = 0 o	t - 4 = 0	Utiliza la Propiedad del Producto Cero. No es necesario definir el factor constante de -1 a cero, porque -1 nunca será igual a cero.
	t = o t = 4		Resuelve cada ecuación.
	t = 4		Interpreta la respuesta. Debido a que t representa el tiempo, éste no puede ser un número negativo; solo t = 4 tiene sentido en este contexto.
Respuesta	El cohete tocará el suelo 4 segundos después de ser lanzado.

Resuelve para m: 2m² + 10m = 48.

A) m = -8 o 3

B) m = -3 u 8

C) m = 0 o -5

D) m = 0 o 5

Resumen

Puedes encontrar las soluciones, o las raíces, o las ecuaciones cuadráticas igualando a 0 un lado, factorizando el polinomio y, luego, aplicando la Propiedad del Producto Cero. El Principio del Producto Cero afirma que si ab = 0, entonces a = 0 y b = 0, o ambos, a y b son iguales a 0. Una vez que el polinomio está factorizado, iguala a 0 cada factor y resuélvelos por separado. Las respuestas serán el conjunto de soluciones de la ecuación original.

No todas las soluciones son adecuadas para algunas aplicaciones. En muchas situaciones del mundo real, las soluciones negativas no son apropiadas y deben ser desechadas.

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.

Last modified: Tuesday, October 23, 2018, 10:03 AM

Lectura: Solución de Cuadráticas por Factorización

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