Lectura: El Teorema de Pitágoras

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo.

·Resolver problemas que impliquen la aplicación del teorema de Pitágoras.

 

Introducción

Hace mucho tiempo, un matemático griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante sobre los triángulos: la suma de los cuadrados de los largos de cada uno de los catetos del triángulo es igual al cuadrado del largo de la hipotenusa del triángulo. Esta propiedad--la cual tiene muchas aplicaciones en la ciencia, en el arte, en la ingeniería y en la arquitectura--ahora es llamada Teorema de Pitágoras.

 

Echemos un vistazo a cómo este teorema puede ayudarte a aprender más sobre la construcción de triángulos. Y la mejor parte--ni siquiera tienes que hablar griego para aplicar el descubrimiento de Pitágoras.

 

El Teorema de Pitágoras

Pitágoras estudió triángulos rectos, y las relaciones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, antes de deducir su teoría.

El Teorema de Pitágoras

Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Esta relación está representada por la fórmula:

 

En el cuadro de arriba, puedes haber notado la palabra "cuadrado", así como los pequeños 2s en la parte superior derecha de las letras  . Elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Así, por ejemplo, para elevar al cuadrado el número 5 puedes multiplicar 5 • 5 y para elevar al cuadrado el número 12, multiplicas 12 • 12. Algunos cuadrados comunes se muestran en la siguiente tabla.

 

 

Cuando ves la ecuación , puedes pensar sobre ello como "el largo del lado a multiplicado por sí mismo, más el largo del lado b multiplicado por sí mismo es igual al largo del lado c multiplicado por sí mismo".

 

Probemos el Teorema de Pitágoras con un triángulo rectángulo.

 

 

Este teorema es válido para este triángulo rectángulo--la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es lo mismo que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Y, de hecho, esto aplica para todos los triángulos rectángulos.

 

El Teorema de Pitágoras también puede ser representado en términos de área. En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado dibujado a partir de la hipotenusa es igual a la suma de las superficies de los cuadrados que se extraen de los dos catetos. Puedes ver esto ilustrado a continuación en el mismo triángulo rectángulo 3-4-5.

 

 

Ten en cuenta que el teorema de Pitágoras sólo funciona con triángulos rectángulos.

 

Encontrar el Largo de la Hipotenusa

Puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar el largo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces el largo de los otros dos lados del triángulo, llamados catetos. Dicho de otro modo, si conoces el largo de a y b, puedes encontrar c.

 

En el triángulo superior, se te brindan las medidas de los catetos a y b: 5 y 12, respectivamente. Puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar un valor para el largo de c, la hipotenusa.

 

 

Utilizando la fórmula, puedes encontrar que el largo de c, la hipotenusa, es igual a 13.

 

En este caso, no conocías el valor de c—te proporcionaron el cuadrado del largo de la hipotenusa, y tenías que averiguar la solución a partir de allí. Cuando se te brinda una ecuación como,  y se te pide que busques el valor de c, a esto se le llama encontrar la raíz cuadrada de un número. (Observa que encontraste un número, c, cuyo cuadrado fue igual a 169).

 

Encontrar una raíz cuadrada requiere de cierta práctica, pero también requiere de conocimiento de la multiplicación, de la división, y de un poco de ensayo y error. Observa la tabla de abajo.

 

 

Es un buen hábito familiarizarse con los cuadrados de los números del 0 al 10, a medida que surgen con frecuencia en las matemáticas. Si puedes recordar los números cuadrados--o si puedes utilizar una calculadora para encontrarlos--entonces encontrar muchas raíces cuadradas comunes será sólo cuestión de recordar.

 

¿Para cuál de estos triángulos aplica ? A) B) C) D)

 

Encontrar el Largo de un Cateto

Puedes utilizar la misma fórmula para calcular el largo de un cateto de un triángulo rectángulo si te dan las medidas del largo de la hipotenusa y del otro cateto. Considera el siguiente ejemplo.

 

 

¿Cuál de los siguientes utiliza correctamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante, x? A)  B) x + 8 = 10. C)  D)

 

Utilizar el Teorema para Resolver Problemas del Mundo Real

El Teorema de Pitágoras es quizás una de las fórmulas matemáticas más útiles que aprenderás porque hay tantas aplicaciones en los escenarios del mundo real. Los arquitectos y los ingenieros usan ampliamente esta fórmula al construir rampas, puentes y edificios. Observa los siguientes ejemplos.

 

 

 

Resumen

El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los largos de los catetos del triángulo es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo. Este teorema está representado por la fórmula . Sencillamente, si conoces los largos de dos lados de un triángulo rectángulo, puedes aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el largo del tercer lado. Recuerda, este teorema sólo funciona para los triángulos rectángulos.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.