Lectura: Triángulos

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Identificar triángulos equiláteros, isósceles, escalenos, agudos, rectángulos y obtusos.

·identificar si los triángulos son semejantes, congruentes, o ninguno de los dos.

·Identificar los lados correspondientes de triángulos congruentes y semejantes.

·Encontrar las medidas faltantes en un par de triángulos semejantes.

·Resolver problemas de aplicación que involucren triángulos semejantes.

 

Introducción

Las formas geométricas, también llamadas figuras, son una parte importante del estudio de la geometría. El triángulo es una de las formas básicas de la geometría. Es la forma más simple dentro de una clasificación de formas denominadas polígonos. Todos los triángulos tienen tres lados y tres ángulos, pero se presentan de muchas formas y tamaños diferentes. Dentro del grupo de todos los triángulos, las características de los lados y ángulos del triángulo se utilizan para clasificarlos aún más. Los triángulos tienen algunas características importantes, y la comprensión de estas características permite aplicar ideas en problemas del mundo real.

 

Clasificación y Nombre de los Triángulos

Un polígono es una figura plana cerrada con tres o más lados rectos. Cada polígono tiene un nombre especial basado en el número de caras que tienen. Por ejemplo, al polígono de tres lados se le llama triángulo porque "tri" es un prefijo que significa "tres". Su nombre también indica que este polígono tiene tres ángulos. El prefijo "poli" significa muchos.

La siguiente tabla muestra y describe tres clasificaciones de triángulos. Observa cómo se utilizan los tipos de ángulos en el triángulo para clasificar el triángulo.

 

 

La suma de las medidas de los tres ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180°. Este hecho se puede aplicar para encontrar la medida del tercer ángulo de un triángulo, si te son dadas las otras dos. Considera los siguientes ejemplos.

 

 

Hay una convención establecida para nombrar a los triángulos. Las etiquetas de los vértices del triángulo, que generalmente son letras mayúsculas, se utilizan para dar nombre a un triángulo.

Puedes llamar a este triángulo ABC o  debido a que A, B, C y D son los vértices del triángulo. Al nombrar el triángulo, puedes comenzar con cualquiera de los vértices. A continuación, mantén las letras en orden a medida que recorres el polígono. El triángulo anterior podría ser nombrado de una variedad de formas: , o . Los lados del triángulo son los segmentos de línea AB, AC y CB.

Justo como los triángulos pueden ser clasificados como agudos, obtusos o rectángulos sobre la base de sus ángulos, también pueden ser clasificados por el largo de sus lados. Los lados del mismo largo se denominan lados congruentes. Mientras designamos unos puntos de unión de un segmento A y B mediante la notación , designamos el largo de puntos de unión de un segmento A y B mediante la notación AB sin una barra de segmento sobre ello. La longitud AB es un número, y el segmento  es el conjunto de puntos que componen el segmento.

 

Los matemáticos muestran congruencia poniendo una marca de almohadilla a través de la mitad de los lados de igual largo. Si la marca es la misma en uno o más lados, entonces esos lados son congruentes. Si las partes tienen diferentes marcas de almohadilla, no son congruentes. La siguiente tabla muestra la clasificación de triángulos por el largo de sus lados.

 

 

Para describir un triángulo aún más concretamente, puedes usar información sobre uno de sus lados y sus ángulos. Considera este ejemplo.

 

 

Clasifica el triángulo que se muestra a continuación. A) escaleno agudo B) isósceles rectángulo C) obtuso escaleno D) obtuso isósceles

 

Identificación Congruente y Triángulos Similares

Dos triángulos son congruentes si tienen exactamente el mismo tamaño y forma. En triángulos congruentes, las medidas de los ángulos correspondientes y las longitudes de los lados correspondientes son iguales. Considera los dos triángulos que se muestra a continuación:

Debido a que tanto  como  son ángulos rectos, estos triángulos son triángulos rectángulos. Llámenos a estos dos triángulos  y . Estos triángulos son congruentes si cada par de lados correspondientes tiene los mismos largos y cada par de ángulos correspondientes tiene la misma medida.

Los lados correspondientes son opuestos a los ángulos correspondientes.

 

 Y son triángulos congruentes puesto que los lados correspondientes y los ángulos correspondientes son iguales.

Echemos un vistazo a otro par de triángulos. A continuación aparecen los triángulos  y .

 

Estos dos triángulos seguramente no son congruentes porque es claramente menor en tamaño que . Pero, aunque no sean del mismo tamaño, se asemejan el uno al otro. Tienen la misma forma. Los ángulos correspondientes de estos triángulos parecen tener las mismas medidas exactas, y si así fuera, serían ángulos congruentes y los llamaríamos triángulos semejantes.

Los ángulos congruentes están marcados con marcas de almohadilla, al igual que los lados congruentes.

Imagen que muestra las medidas de los ángulos de ambos triángulos.	Imagen que muestra los triángulos ABC y RST usando marcas de almohadilla para mostrar la congruencia del ángulo.

 

También podemos mostrar ángulos congruentes mediante el uso de varias bandas en el ángulo, en lugar de múltiples marcas de almohadillas en una banda. A continuación se muestra una imagen con varias bandas en el ángulo.

Imagen que muestra los triángulos ABC y RST

utilizando bandas para mostrar la congruencia del ángulo.

Si los ángulos correspondientes de los dos triángulos tienen las mismas medidas son llamados triángulos semejantes. Este nombre tiene sentido porque tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Cuando un par de triángulos es similar, las partes correspondientes son proporcionales la una de la otra. Eso significa que hay un factor de escala coherente que se puede utilizar para comparar los lados correspondientes. En el ejemplo anterior, el largo de los lados del triángulo más grande son todos 1.4 veces mayores al largo del más pequeño. Por lo tanto, los triángulos semejantes son proporcionales el uno del otro.

Sólo porque dos triángulos parezcan similares no significa que son triángulos semejantes en el sentido matemático de la palabra. Comprobar que los ángulos correspondientes tienen la misma medida es una forma de asegurarse de que los triángulos son similares.

 

Los Lados Correspondientes de Triángulos Similares

Existe otro método para determinar la similitud de los triángulos que implica la comparación de las proporciones de los largos de los lados correspondientes.

Si las proporciones de los pares de lados correspondientes son iguales, los triángulos son semejantes.

Considera los dos triángulos a continuación.

  no es congruente con  porque los largos de los lados de  son mayores que los de.Por lo tanto, ¿estos triángulos son similares? Si lo son, los lados correspondientes deben ser proporcionales.

Debido a que estos triángulos están orientados de la misma manera, puedes emparejar los lados izquierdo, derecho e inferior:  y ,  y , y . (Podrías llamar a estos, los dos lados más cortos, los dos lados más largos, y los dos lados sobrantes y haber llegado a las mismas proporciones). Veamos ahora las proporciones de sus largos.

Sustituyendo los valores del largo de los lados en la proporción, verás que es esto es verdadero:

Si los lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son similares. Los triángulos ABC y DEF son similares, pero no son congruentes.

Usemos esta idea de los lados proporcionales correspondientes para determinar si dos triángulos son semejantes.

 

El símbolo matemático ~ significa "similar que". Así, puedes escribir que  es similar a  como .

Determina si los dos triángulos son semejantes, congruentes, o ninguno de los dos. A)  y  son congruentes. B)  y  son similares. C)  y  son similares y congruentes. D)  y  no son similares ni congruentes.

 

Buscar Las Medidas Faltantes en Triángulos Semejantes

Puedes encontrar las medidas faltantes en un triángulo si conoces algunas de las medidas de un triángulo similar. Veamos un ejemplo.

 

Este proceso es bastante sencillo--pero ten cuidado de que tus radios representen los lados correspondientes, recordando que los lados correspondientes son los ángulos correspondientes opuestos.

 

Solucionar Problemas de aplicaciones que Involucran Triángulos Similares

Aplicar los conocimientos de similitud y de congruencia de los triángulos puede ser muy útil para resolver problemas en la vida real. Al igual que puedes resolver para largos faltantes de un triángulo dibujado en una página, puedes usar los triángulos para encontrar distancias desconocidas entre ubicaciones u objetos.

Tomemos el ejemplo de dos árboles y sus sombras. Supongamos que el sol resplandece sobre dos árboles, uno que es de 6 pies de altura y el otro cuya altura es desconocida. Midiendo el largo de cada sombra sobre el terreno, puedes utilizar la similitud del triángulo para encontrar la altura desconocida del segundo árbol.

En primer lugar, ¡averigüemos dónde se encuentran los triángulos en esta situación! Los propios árboles crean un par de lados correspondientes. Las sombras sobre el terreno son otro par de lados correspondientes. La tercera parte de estos triángulos semejantes imaginarios van desde la parte superior de cada árbol a la punta de su sombra sobre el suelo. Esta es la hipotenusa del triángulo.

Si sabes que los árboles y sus sombras forman triángulos similares, puedes establecer una proporción para hallar la altura del árbol.

 

 

Resumen

Los triángulos son una de las formas básicas del mundo real. Los triángulos se pueden clasificar por las características de sus ángulos y sus lados, y los triángulos pueden ser comparados sobre la base de estas características. La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180º. Los triángulos congruentes son triángulos del mismo tamaño y forma. Ellos tienen sus lados correspondientes de igual longitud y sus ángulos correspondientes de la misma medida. Los triángulos similares tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Los largos de sus lados son proporcionales. El conocimiento de los triángulos puede ser útil para resolver problemas del mundo real.

 

Permisos

Esta lectura está tomada de la matemática en el desarrollo programa abierto creado por The NROC Project. Está disponible bajo una licencia de Creative Commons.